![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.
Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
р (А + В) = р (А) + р (В).
Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий А 1, А 2,…, Аn равна сумме вероятностей этих событий:
p (А 1 + А 2 +…+ Аn) = p (А 1) + p (А 2)+…+ p (Аn).
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу (то есть, когда эти события попарно несовместны, но в результате испытания одно из них произойдет обязательно), равна 1.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р (А) + р () = 1, где
– событие противоположное событию А.
Теорема 2. Вероятность произведения двух совместных независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
р (А · В) = р (А)· р (В).
Теорема 3. Вероятность произведения двух совместных зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность второго:
р (А · В) = р (А)· р (В / А) = р (В)· р (А / В),
где условная вероятность р (В / А) – вероятность события В при условии, что А произошло; условная вероятность р (А / В) – вероятность события А при условии, что В произошло.
Следствие 1. Если события А 1, А 2,…, Аn совместны и зависимы, то
p (А 1· А 2 …· Аn) = p (А 1)· p (А 2 /A 1) p (А 3 /A 1 A 2) …· p (Аn /A 1 A 2… Аn– 1).
Следствие 2. Если события А 1, А 2,…, Аn независимы в совокупности, то
p (А 1· А 2 …· Аn) = p (А 1)· p (А 2) p (А 3) …· p (Аn).
Теорема 4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
р (А + В) = р (А)+ р (В) – р (А · В).
Следствие 1. Если события А и В совместны и независимы, то
р (А + В) = р (А) + р (В) – р (А)· р (В).
Следствие 2. Если события А и В совместны и зависимы, то
р (А + В) = р (А) + р (В) – р (А)· р (В / А) = р (А) + р (В) – р (В)· р (А / В).
Задача 2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках равна, соответственно, 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:
а) только в одном справочнике;
б) хотя бы в двух справочниках;
в) во всех трех справочниках;
г) хотя бы в одном справочнике.
Решение. Введем обозначения событий: Bi = {нужная студенту формула находится в i -м справочнике}, i = 1, 2, 3.
По условию задачи Так как Вi – независимые события, то и противоположные им события
– независимы:
Согласно определениям сложения и умножения событий алгеброй события A является:
События – слагаемые в правой части последнего равенства несовместны, а события-сомножители – независимы.
По теоремам сложения и умножения вероятностей имеем:
б) Событие В ={формула содержится хотя бы в двух справочниках} эквивалентно событию {формула содержится только в 1-м и во 2-м; или в 1-м и 3-м; или во 2-м и в 3-м; или в 1-м, 2-м, 3-м справочниках}, то есть
Аналогично, по теоремам сложения и умножения вероятностей:
в) Событие С ={формула содержится во всех трех справочниках} эквивалентно событию {формула содержится и в 1-м, и во 2-м, и в 3-м справочниках}; то есть
По теореме умножения независимых событий
г) Событию D ={формула содержится хотя бы в одном справочнике} противоположно событие = {формулы нет ни в одном справочнике}, то есть
Тогда по теореме умножения независимых событий
Следовательно,
Примечание. , но расчеты в этом случае более затруднительны.
Ответ: а) p (A) = 0,188; p (B) = 0,788; p (C) = 0,336; p (D) = 0,976.
Задача 3. Из 11 карточек, на каждой из которых написано по одной букве: В, Е, Р, О, Я, Т, Н, О, С, Т, Ь, выбирают наугад 3 карточки, одну за другой. Найти вероятность того, что получится слово «ТОН». Рассмотреть два случая: а) выбранные карточки не возвращаются; б) каждая выбранная
карточка возвращается в общую совокупность, в которой все карточки перемешиваются перед извлечением следующей.
Решение. Введем следующие события:
А = {при извлечении трех карточек получится слово «ТОН»};
А 1 = {первая извлеченная буква – «Т»};
А 2 = {вторая извлеченная буква – «О»};
А 3 = {третья извлеченная буква – «Н»};
тогда событие А = А 1 ∙ А 2 ∙ А 3.
а) Если выбранные карточки не возвращаются, то события А 1, А 2, А 3 зависимы, и по теореме умножения для зависимых событий
б) Если выбранные карточки возвращаются, то события А 1, А 2, А 3 не зависимы и по теореме умножения для независимых событий
Ответ: а) б)
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 2805 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!