Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р (А + В) = р (А) + р (В).

Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий А ₁, А ₂,…, А_n равна сумме вероятностей этих событий:

p (А ₁ + А ₂ +…+ А_n) = p (А ₁) + p (А ₂)+…+ p (А_n).

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу (то есть, когда эти события попарно несовместны, но в результате испытания одно из них произойдет обязательно), равна 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р (А) + р () = 1, где – событие противоположное событию А.

Теорема 2. Вероятность произведения двух совместных независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

р (А · В) = р (А)· р (В).

Теорема 3. Вероятность произведения двух совместных зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность второго:

р (А · В) = р (А)· р (В / А) = р (В)· р (А / В),

где условная вероятность р (В / А) – вероятность события В при условии, что А произошло; условная вероятность р (А / В) – вероятность события А при условии, что В произошло.

Следствие 1. Если события А ₁, А ₂,…, А_n совместны и зависимы, то

p (А ₁· А ₂ …· А_n) = p (А ₁)· p (А ₂ /A ₁) p (А ₃ /A ₁ A ₂) …· p (А_n /A ₁ A ₂… А_{n– 1}).

Следствие 2. Если события А ₁, А ₂,…, А_n независимы в совокупности, то

p (А ₁· А ₂ …· А_n) = p (А ₁)· p (А ₂) p (А ₃) …· p (А_n).

Теорема 4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

р (А + В) = р (А)+ р (В) – р (А · В).

Следствие 1. Если события А и В совместны и независимы, то

р (А + В) = р (А) + р (В) – р (А)· р (В).

Следствие 2. Если события А и В совместны и зависимы, то

р (А + В) = р (А) + р (В) – р (А)· р (В / А) = р (А) + р (В) – р (В)· р (А / В).

Задача 2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках равна, соответственно, 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) хотя бы в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике.

Решение. Введем обозначения событий: B_i = {нужная студенту формула находится в i -м справочнике}, i = 1, 2, 3.

По условию задачи Так как В_i – независимые события, то и противоположные им события – независимы:

а) Событие А ={формула содержится только в одном справочнике} эквивалентно событию {формула содержится только в первом справочнике и не содержится во 2-м и 3-м; или формула содержится только во втором справочнике, но не содержится в 1-м и 3-м; или формула содержится только в третьем справочнике, но не содержится в 1-м и 2-м}.

Согласно определениям сложения и умножения событий алгеброй события A является:

События – слагаемые в правой части последнего равенства несовместны, а события-сомножители – независимы.

По теоремам сложения и умножения вероятностей имеем:

б) Событие В ={формула содержится хотя бы в двух справочниках} эквивалентно событию {формула содержится только в 1-м и во 2-м; или в 1-м и 3-м; или во 2-м и в 3-м; или в 1-м, 2-м, 3-м справочниках}, то есть

Аналогично, по теоремам сложения и умножения вероятностей:

в) Событие С ={формула содержится во всех трех справочниках} эквивалентно событию {формула содержится и в 1-м, и во 2-м, и в 3-м справочниках}; то есть

По теореме умножения независимых событий

г) Событию D ={формула содержится хотя бы в одном справочнике} противоположно событие = {формулы нет ни в одном справочнике}, то есть

Тогда по теореме умножения независимых событий

Следовательно,

Примечание. , но расчеты в этом случае более затруднительны.

Ответ: а) p (A) = 0,188; p (B) = 0,788; p (C) = 0,336; p (D) = 0,976.

Задача 3. Из 11 карточек, на каждой из которых написано по одной букве: В, Е, Р, О, Я, Т, Н, О, С, Т, Ь, выбирают наугад 3 карточки, одну за другой. Найти вероятность того, что получится слово «ТОН». Рассмотреть два случая: а) выбранные карточки не возвращаются; б) каждая выбранная

карточка возвращается в общую совокупность, в которой все карточки перемешиваются перед извлечением следующей.

Решение. Введем следующие события:

А = {при извлечении трех карточек получится слово «ТОН»};

А ₁ = {первая извлеченная буква – «Т»};

А ₂ = {вторая извлеченная буква – «О»};

А ₃ = {третья извлеченная буква – «Н»};

тогда событие А = А ₁ ∙ А ₂ ∙ А ₃.

а) Если выбранные карточки не возвращаются, то события А ₁, А ₂, А ₃ зависимы, и по теореме умножения для зависимых событий

б) Если выбранные карточки возвращаются, то события А ₁, А ₂, А ₃ не зависимы и по теореме умножения для независимых событий

Ответ: а) б)