Основные элементы комбинаторики

Пусть даны 2 множества:

{ а , а ,…, а } и { b , b ,…, b }.

Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m ₁ способами, а объект типа «b» – m ₂ способами, то выбор или «а», или «b» может быть осуществлен N = m ₁ + m ₂ способами.

Правило произведения: Если объект типа «а» может быть выбран m ₁ способами, и после любого такого выбора объект «b» может быть выбран m ₂ то выбор и «а», и «b» можно осуществить N = m ₁· m ₂ способами.

Основной принцип комбинаторики: Если имеется k множеств, причем из каждого можно составить комбинации соответственно n ₁, n ₂,…, n_k способами, то комбинация, содержащая комбинации по одной из исходных множеств, может быть составлена N = n ₁· n ₂·…· n_k способами.

Определение 1. Сочетаниями из n различных элементов по m, причем m n, называются такие комбинации, каждая из которых содержит ровно m элементов и отличается от любой другой хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С и находится по формуле

С = ,

где n!, m!, (n – m)! – факториалы, то есть произведения соответственно n, m, n – m последовательных натуральных чисел, начиная с 1, например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению 0! = 1.

Задача 1. В лотерее разыгрывается 100 билетов; из них 10 являются выигрышными, а остальные 90 – «пустые». Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность, что среди них будет 2 выигрышных и 3 «пустых».

Решение. Событие А = {среди 5 отобранных билетов 2 выигрышных и 3 «пустых»}.

Для наглядности решения задачи составим схему взаимосвязанных множеств:

Всего Выигрышные Пустые

100 = 10 + 90

↓ ↓ ↓

5 = 2 + 3

Согласно (1) вероятность события А определяется как p (А) = . Общее число n возможных различных способов отбора равно числу способов, которыми можно отобрать 5 билетов из 100: n = C .

Число исходов m, благоприятствующих событию А, зависит от двух условий: среди отобранных билетов должно оказаться 2 выигрышных и 3 «пустых». Число различных способов отбора двух выигрышных билетов из 10 возможных: m ₁ = C ; а число различных способов отбора трех «пустых» билетов из 90: m ₂ = C . Используя правило произведения, получаем: m = m ₁· m ₂ – число способов, благоприятствующих событию А. Следовательно, искомая вероятность

p (A)= = · : ≈ 0,07.

Ответ: p (A) ≈ 0.07.