Точки разрыва и их классификация

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x ₀, то точка x ₀ называется точкой разрыва функции f (x).

Согласно определению функции, непрерывной в точке x ₀, в точке разрыва функция либо не определена, либо не имеет в этой точке конечного предела, либо конечный предел функции в точке x ₀ существует, но не совпадает со значением f (x ₀) функции f (x) в этой точке.

Точка разрыва x ₀ функции f (x) называется точкой разрыва первого рода, если f (x) имеет в этой точке конечные односторонние пределы и . При этом если в точке разрыва x ₀ = , то разрыв называется устранимым, если же ¹ , то разрыв называется неустранимым. Разность – называется скачком функции f (x) в точке x ₀.

Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода называются точками разрыва второго рода. В точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным.

Разрывы I рода

Разрыв неустранимый Разрыв устранимый Разрыв II рода

Если функция f (x) имеет в некоторой точке x ₀ устранимый разрыв, то его можно устранить, переопределив или доопределив функцию в точке x ₀. Например, функция не определена в точке x = 0, но имеет в этой точке конечные односторонние пределы = = 1, так как . Значит эта функция имеет в точке x = 0 устранимый разрыв. Доопределив эту функцию в точке x = 0 значением 1, то есть, задав значение f (0) = 1, получим непрерывную в точке x = 0 функцию.