Бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно большой при стремлении x к a, если . Иными словами, если для любого e > 0 найдется такое d > 0, что для всех x из проколотой окрестности (a, d) справедливо неравенство | f (x) | > e.

ТЕОРЕМА. О связи между бесконечно большими и бесконечно малыми.

Если a(x)— бесконечно малая при стремлении x к a функция, то функция является бесконечно большой при стремлении x к a.

Если f (x)— бесконечно большая при стремлении x к a функция, то функция является бесконечно малой при стремлении x к a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция. Покажем, что — бесконечно большая при стремлении x к a. Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = 0, то существует проколотая окрестность (a, d) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | a(x) | < . Тогда для любого x из этой окрестности справедливы неравенства e · | a(x) | < 1, > e, > e. Следовательно, функция является бесконечно большой при стремлении x к a.

Пусть f (x) — бесконечно большая при стремлении x к a функция. Покажем, что — бесконечно малая при стремлении x к a. Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = ¥, то существует проколотая окрестность (a, d) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | f (x) | > . Тогда для любого x из этой окрестности справедливы неравенства e · | f (x) | > 1, < e, < e. Следовательно, функция является бесконечно малой при стремлении x к a. Теорема доказана.