Виды неопределенностей и замечательные пределы

Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке a конечные или бесконечные пределы. Если эти пределы — конечные числа, то пределы от суммы, разности, произведения и частного этих функций вычисляются согласно теореме об арифметических свойствах пределов. Если предел f (x) — конечное число A, а = ± ¥, то + g (x)) = [ A + (± ¥)] = ± ¥, – g (x)) = [ A – (± ¥)] = K ¥,

= Если предел f (x) — конечное число A, а = ± ¥ или = 0, то пределы

от частного этих функций вычисляются согласно теореме о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями:

,

Вопрос о значении предела остается невыясненным в случаях

– g (x)) = [¥ – ¥], =[0·¥], , .

Такие выражения называются неопределенностями, значения пределов в этих случаях зависят от конкретного вида функций f (x) и g (x). Например,

1) ;

2) В этих примерах при раскрытии одной и той же неопределенности [¥ – ¥] получили разные ответы.

В качестве упражнения придумайте примеры, показывающие, что выражения [0·¥], , действительно являются неопределенностями.

При вычислении пределов от функций вида обычно следует перейти к степени с основанием e, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством: = . Поскольку величина предела такой функции зависит от величины предела , а при вычислении предела от произведения функций неопределенность возникает только в виде [0·¥], то в нашем случае неопределенность возникнет, если

1) = 0, = ±¥ или 2) = ±¥, = 0.

Заметим, что = 0, если = 1, = +¥, если = +¥, а = – ¥, если = 0.

Таким образом, получаем неопределенности, возникающие при вычислении пределов от степеней с переменными основанием и показателем: [1^¥], [0⁰], [¥⁰].

В литературе по математическому анализу обычно рассматриваются два предела, получившие названия «первый замечательный предел» и «второй замечательный предел».

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность

и может быть записан еще в трех видах:

, , .

Второй замечательный предел = e раскрывает неопределенность [1^¥] и может быть записан еще в трех видах: , . В последних двух модификациях второго замечательного предела раскрываются неопределенности .

Доказательства замечательных пределов можно найти в учебнике Шипачева В.С. (глава 4, § 4).

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ТЕОРЕМА. Пусть функции f (x), f ₁(x), g (x), g ₁(x) являются бесконечно малыми при стремлении x к a, причем f (x) ~ f ₁(x), g (x) ~ g ₁(x). Тогда если существует предел , то существует и предел , причем =

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Согласно определению эквивалентных бесконечно малых функций и . Следовательно,

= · · =

= 1· · 1 = . Теорема доказана.

Заметим, что во всех видах записи замечательных пределов, раскрывающих неопределенности , числитель и знаменатель дроби являются эквивалентными бесконечно малыми. Более того, если a(x) является бесконечно малой при стремлении x к a, то, заменив в этих пределах x на a(x), получим верные равенства, то есть

и т. д. Следовательно, если a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a, то

sin a(x) ~ a(x), tg a(x) ~ a(x), arcsin a(x) ~ a(x), arctg a(x) ~ a(x),

ln (1+a(x)) ~ a(x), e ^a(x) – 1 ~ a(x).

Приведем несколько примеров на использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

Пример 1.

.

Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 0: sin 5 x ~ 5 x и tg 3 x ~ 3 x и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.

Пример 2.

.

Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 3: ln (1+ x – 3) ~ x – 3 и tg 2(x – 3) ~ 2(x – 3) и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.