![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция a(x) называется бесконечно малой при стремлении x к a, если = 0. Иными словами, если для любого e > 0 найдется такое d > 0, что для всех x из проколотой окрестности
(a, d) справедливо неравенство | a(x) | < e.
Свойства бесконечно малых.
1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при стремлении x к a функций является бесконечно малой при стремлении x к a функцией.
Доказательство этого свойства непосредственно следует из теоремы об арифметических свойствах пределов. Проверьте самостоятельно.
2. Произведение бесконечно малой при стремлении x к a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию является функцией, бесконечно малой при стремлении x к a.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция, то есть = 0, f (x) —функция, ограниченная в окрестности U (a,d1), то есть существует такое число K, что для любого x из U (a,d1) справедливо неравенство | f (x) | < K.
Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = 0, то существует проколотая окрестность
(a, d2) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | a(x) | <
. Возьмем d = min{d1, d2}. Тогда для любого x из окрестности U (a,d) справедливо неравенство | a(x) · f (x) | = | a(x) | · | f (x) | <
· K = e. Следовательно,
= 0, что и требовалось доказать.
3. Для того чтобы функция f (x) имела в точке a конечный предел, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая при стремлении x к a функция a(x), такая что f (x) = A + a(x).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Необходимость. Пусть = A. Обозначим a(x) = f (x) – A. Тогда f (x) = A + a(x). Осталось доказать, что
= 0. По теореме об арифметических свойствах пределов, получаем
=
=
– A = A – A = 0.
Достаточность. Пусть теперь f (x) = A + a(x), где a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция. Докажем, что = A.
=
= A +
= A + 0 = A. Свойство 3. доказано.
Сравнение бесконечно малых.
Пусть a(x) и b(x) — бесконечно малые при стремлении x к a функции.
a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(x), если . Обозначение: a(x) = o (b(x)).
a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , где C ¹ 0, C ¹ ±¥. Обозначение a(x) = O (b(x)).
a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Обозначение a(x) ~ b(x).
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!