Методичні поради. Необхідно знати і вміти пояснити, які системи рівнянь називаються сумісними (визначеними та невизначеними) і несумісними

Необхідно знати і вміти пояснити, які системи рівнянь називаються сумісними (визначеними та невизначеними) і несумісними.

Дуже важливо засвоїти матричну форму запису системи лінійних рівнянь і вміти переходити до цієї форми від загального вигляду системи і навпаки.

Треба усвідомити, що питання про можливість розв'язання системи лінійних рівнянь встановлюється за допомогою теореми Кронекера-Капеллі. Згідно цієї теореми система сумісна (має розв'язки), тоді і тільки тоді, коли основна та розширена матриці системи мають однакові ранги. Якщо ж ранги цих матриць дорівнюють кількості невідомих, то система визначена (має єдиний розв'язок).

Розв'язують системи лінійних рівнянь різними способами: по формулах Крамера, за допомогою оберненої матриці або методом Гаусса. Найбільш важливий для практики метод Гаусса має ряд переваг у порівнянні з іншими способами: він менш трудомісткий, дозволяє однозначно встановити, чи є дана система визначеною, невизначеною або несумісною, а у випадку сумісності системи – визначити число її незалежних рівнянь і знайти загальний розв’язок. Слід детально розібрати приклад системи, що має безліч роз’язків, виконавши всі проміжні обчислення.

Для знаходження єдиного розв'язку, коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих і не більше трьох, часто використовують метод Крамера або метод оберненої матриці. Щоб зрозуміти ці методи, потрібно розібрати приклади № 1-3 на метод Крамера та приклади № 1-2 на метод оберненої матриці, виконавши всі проміжні обчислення.

В інших випадках доцільно користуватися методом Гаусса. Цей метод базується на еквівалентних перетвореннях розширеної матриці системи для приведення її до східчастого вигляду. Після цього легко визначити базисний (ненульовий) мінор матриці системи. Стовпцям базисного мінора відповідають базисні невідомі. Щоб знайти всі розв'язки системи (тобто її загальний розв'язок), східчасту систему розв'язують відносно базисних невідомих. Спочатку слід детально розібрати приклад № 1, коли система має єдиний розв’язок, потім приклад № 2, коли система не має розв’язків, і, нарешті, приклад № 3, коли система має безліч розв’язків.

Всі розв'язки однорідної системи лінійних рівнянь знаходять або за формулами Крамера (див. приклад 4.6) або методом Гаусса (див. приклад 15.5).

Спрощене, але доступне пояснення розв'язування системи лінійних рівнянь по формулах Крамера, за допомогою оберненої матриці та методом Гаусса наведене на Mathprofi.ru.