Линейные операторы с простым спектром. Условие, при котором матрица линейного оператора подобна диагональной. Приведение матрицы к диагональному виду

Определение 1. Пусть j – линейный оператор пространства V_n над полем P. Спектром линейного оператора j называется множество всех собственных значений линейного оператора j.

Определение 2. Спектр линейного оператора j называется простым, если он состоит из попарно различных собственных значений линейного оператора j.

Теорема 1. Пусть V_n – n- мерное векторное пространство над полем P, j – линейный оператор пространства V_n, l₁,…, l_n - спектр линейного оператора j, - собственные векторы линейного оператора j, принадлежащие l₁,…, l_n соответственно. Если l₁,…, l_n - простой спектр, то система векторов линейно независима.

Теорема 2. Пусть j - линейный оператор векторного пространства V_n над полем Р. Линейный оператор j имеет в базисе (1) матрицу диагонального вида тогда и только тогда, когда базис (1) состоит из собственных векторов линейного оператора j.

Доказательство. Необходимость. Пусть в базисе линейный оператор j имеет матрицу вида , где . Тогда Следовательно, Так как система векторов - базис, то . Значит, по определению, - собственные векторы линейного оператора j.

Достаточность. Пусть - собственные векторы линейного оператора . Тогда найдутся l₁,…, l_n ÎР такие, что . Значит, Следовательно, в базисе матрица линейного оператора j имеет вид . Теорема доказана.

Следствие. Если линейный операторjимеет простой спектр l₁,…, l_n, то в базисе, состоящем из собственных векторов линейного оператора j , принадлежащих соответственно собственнымзначениям l₁,…, l_n, матрица А линейного оператора j имеет вид .

Если из собственных векторов линейного оператора j нельзя составить базис векторного пространства V_n, то ни одна из матриц линейного оператора j не имеет диагональный вид.

Приведение матрицы к диагональному виду

Пусть - матрица n -го порядка над полем Р. Возникает вопрос: можно ли привести матрицу А к диагональному виду, то есть, будет ли матрица А подобна некоторой диагональной матрице?

Известно, что на матрицу А можно смотреть как на матрицу некоторого линейного оператора j векторного пространства V над полем Р. Тогда поставленный вопрос можно сформулировать следующим образом: найдется ли такой базис n-мерного векторного пространства V над полем Р, в котором матрица линейного оператора j будет диагональной. В общем случае ответ отрицательный. Однако, если спектр линейного оператора j простой, то матрица А приводится к диагональному виду. Если спектр матрицы имеет хотя бы одно значение, не принадлежащее полю Р, то в этом случае матрица А не приводится к диагональному виду.

Пусть , - спектр линейного оператора j. Тогда

а) если m=n, то матрица А приводится к диагональному виду (так как в этом случае спектр линейного оператора j простой);

б) пусть m<n. В этом случае матрица А может как приводиться к диагональному виду, так и нет. Пусть - кратность корня . Если для любого кратность равна числу свободных неизвестных характеристической системы, соответствующей собственному значению , то мы сможем найти n собственных векторов линейного оператора j, которые будут линейно независимы, и, значит, будут образовывать базис. Тогда матрица А будет приводиться к диагональному виду. В противном случае А не приводиться к диагональному виду.