Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения

Определение 1. Пусть V и V ₁ – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁. Множество называется ядром линейного отображения j, т.е. ядром линейного отображения j называется множество всех векторов из V, отображающихся при j в нулевой вектор .

Определение 2. Пусть V и V ₁ – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁. Множество называется образом линейного отображения j.

Теорема 1. Пусть V и V ₁ – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)Множество является подпространством векторного пространства V;

2) Множество является подпространством векторного пространства V₁.

Доказательство. 1) Применим к множеству критерий подпространства. Отметим, что так как и , то , и значит, ∅. Кроме того, из определения 2 следует, что .

а) Покажем, что . Действительно, так как , то .

б) Покажем, что . Действительно, поскольку , то .

Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V.

2) Применим к множеству критерий подпространства. Так как и , то , и поэтому, ∅. Так как , то из определения 3 следует, что .

а) Пусть . Покажем, что . Так как , то по определению 3 существуют такие векторы , что , . Тогда .

б) Покажем, что . Действительно, .

Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V₁. Теорема доказана.

Определение 3. Пусть V и V ₁ – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁. Дефектом линейного отображения j называется размерность векторного пространства Ker j, и обозначается d, т.е. d=dim_pKer j. Рангом линейного отображения называется размерность векторного пространства , и обозначается r, т.е. r=dim_Р .

Теорема 2. Пусть V и V ₁ – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V ₁, r и d – ранг и дефект линейного отображенияjсоответственно. Тогда n= r+d.

25. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Связь между координатными столбцами и

Определение 1. Линейное отображение называется линейным оператором или эндоморфизмом векторного пространства V.

Теорема 1. Пусть V - n- мерное векторное пространство над полем P, - линейный оператор V. Тогда следующие утверждения равносильны:

1) – взаимно-однозначное отображение;

2) Оператор всякий базис пространства V переводит в базис этого пространства;

3) Оператор всякую линейно независимую систему векторов из V переводит в линейно независимую систему векторов;

4) Ранг линейного оператора равен n;

5) ;

Пусть V_n – n -мерное векторное пространство над полем Р, ( 1 ) – базис V_n, . Тогда можно разложить по базису (1), т.е. = , где . Введём в рассмотрение две матрицы:

() – матрица размера , - матрица размера .

Матрица обозначается и называется координатным вектором-столбцом вектора в базисе (1), т.е. = . Тогда ( _{1,…, n})· =( _{1,…, n})· = . Таким образом, ( 2 ).

Пусть V_n – n -мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис V_n, j – линейный оператор V_n. Тогда по теореме 3 линейный оператор однозначно определяется заданием векторов . Так как j: V_n V_n, то . Поскольку (1) – базис V_n, то вектор можно разложить по базису (1), i= :

( 3 ) , т.е. = , i= .

Определение 2. Пусть V_n – n -мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис V_n, j – линейный оператор V_n. Матрицей линейного оператора в базисе (1) называется матрица n -го порядка над полем Р, i -ым столбцом которой является координатный вектор-столбец вектора в базисе (1), i= , и обозначается А_φ, т.е.

А_φ = .

Из определения 2 следует, что система (3) может быть записана в матричной форме: = ( 3′ ).

Действительно,

= = = .

Заметим, что между множеством M_n(P) всех матриц n -го порядка над полем Р и множеством всех линейных операторов n -мерного векторного пространства V_n над полем Р существует взаимно однозначное соответствие.

Теорема 2. Пусть - n- мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис V_n, – линейный оператор V_n, , А – матрицалинейного оператора в базисе (1). Тогда = (4).

Доказательство. Так как V_n и (1) – базис V_n, то

С другой стороны, так как , то по (2) . Следовательно,

= . Поскольку коэффициенты в базисе (1) определяются однозначно, то последнее равенство означает, что = . Теорема доказана.