Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Теорема 1. Пусть V_n – n- мерное векторное пространство над полем P. Матрица Т n -го порядка над полем Р является матрицей перехода от одного базиса векторного пространства V_n к другому тогда и только тогда, когда detТ ≠ 0.

Теорема 2. Пусть V_n – n- мерное векторное пространство над полем P, (1), (1′) – базисы векторного пространства V_n, Т – матрица перехода от базиса (1)к базису (1′), - линейный оператор векторного пространства V_n, А - матрица линейного оператора в базисе (1), В - матрица линейного оператора в базисе (1′). Тогда

В=Т^-1АТ.

Доказательство. Из определения матрицы линейного оператора следует, что = (2) и = (3).

Из формул перехода от базиса к базису имеем

= (4) и = (5).

Подставим из (2) и (3) соответствующие выражения в (5). Получим

= (6).

Теперь подставим в (6) вместо соответствующее выражение из (4):

= (7).

Из (7) следует, что . Умножая обе части последнего равенства слева на Т^-1, окончательно получим В=Т^-1АТ. Теорема доказана.

Определение 1. Пусть j - линейный оператор векторного пространства V над полем P. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора j, если существует lÎP такое, что

j()= l . (1)

При этом, l называется собственным значением линейного оператора j, а - собственным вектором линейного оператора , принадлежащим собственному значению l.

Лемма 1. Пусть - собственный вектор линейного оператора векторного пространства V над полем P. Еслиl₁ и l₂ - собственные значения линейного оператора j, соответствующие собственному вектору , то l₁ = l₂.

Доказательство. Пусть j()= l₁ и j()= l₂ . Так как j – отображение, то l₁ = l₂ . Тогда l₁ - l₂ = . Следовательно, (l₁ - l₂ = . Так как , то l₁ - l₂ и l₁ = l₂. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть P – бесконечное поле, - собственный вектор линейногооператора j векторного пространства V над полем P, принадлежащий собственному значению l. Тогда существует бесконечное множество собственных векторов линейного оператора j, принадлежащих собственному значению l.

Доказательство. Для любого имеем , то есть вектор является собственным вектором линейного оператора j, принадлежащим собственному значению l. Лемма доказана.