Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора

Пусть V_n – n -мерное векторное пространство над полем P, (1) – базис V_n, j - линейный оператор векторного пространства V_n. Найдём все собственные векторы и все собственные значения линейного оператора j. Пусть – собственный вектор линейного оператора j. Найдём .

По определению j()= l , где λ P . С другой стороны, . Поэтому = , т.е. .

Пусть - матрица линейного оператора j в базисе (1). Тогда

(2).

Определение 1. Система (2) называется характеристической системой линейного оператораj.

Решением системы (2) является множество всех собственных векторов линейного оператора j (за исключением нулевого решения). Решим систему (2): по правилу Крамера. Система (2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель системы не равен нулю, т.е. . Поскольку нас интересуют ненулевые решения системы (2), то рассмотрим случай, когда (2) неопределена, т.е. случай, когда :

(3).

Уравнение (3) является уравнением относительно переменной λ. Это уравнение можно записать в матричной форме: (3).

Определение 2. Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного оператораj. М ногочлен f(λ) = называется характеристическим многочленом линейного оператораj.

Вывод: Решая характеристическое уравнение, найдём все собственные значения l₁,…, l_k линейного оператора j. Подставляя l _i в систему (2) и решая её, получим все собственные векторы линейного оператора j, принадлежащие собственным значениям l _i, i = .