Метод Гаусса. Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Найбільш поширеним методом розв'язування системи лінійних рівнянь є метод Гаусса. Під час розв'язування системи цим методом без додаткового дослідження встановлюється: сумісна система чи несумісна, визначена чи невизначена.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

(1)

Якщо над даною системою провести елементарні перетворення: а) переставляння двох рівнянь; б) множення обох частин будь-якого рівняння на число с, відмінне від нуля; в) додавання до обох частин одного із рівнянь системи відповідних частин другого рівняння, помножених на будь яке число с; г) викреслювання рівнянь виду 0=0, то одержимо систему, рівносильну даній.

Складемо розширену матрицю

із коефіцієнтів при невідомих та стовпця вільних членів. За допомогою елементарних перетворень над рядками (тільки над рядками!) матриці зведемо матрицю А до вигляду:

(2)

де всі діагональні елементи b₁₁, b₂₂,..., b _rr відмінні від нуля, а елементи, розташовані нижче діагональних, рівні нулю. Матриця (2) відповідає системі рівнянь.

(1’)

Яка одержується із системи (1) за допомогою деякого числа елементарних перетворень, а значить, рівносильна системі (1). Розв'язання системи (1’) не складатиме труднощів. А саме, якщо R=n, то із останнього рівняння, яке буде мати вигляд b_nnx_n=c_n (де b_nn¹0), знаходимо єдине значення x_n, із попереднього рівняння – значення x_n-1 (так-як x_n уже відоме) і т.д., накінець із першого рівняння – значення x_1. Таким чином, якщо R=n, то система має єдиний розв'язок. Якщо ж R<n, то система (1') легко зводиться до системи вигляду:

(R<n) (1’)

яка і буде по суті загальним розв'язком системи (1).

Невідомі x _{r+ 1},..., x_n називатимуться вільними. Їм можна надавати яких завгодно числових значень і потім із (1’’) знайти x₁,..., x _r.

Таким чином, зведення матриці А до вигляду (2) можливе тільки в тому випадку, коли дана система рівнянь (1) сумісна. Якщо ж система (1) несумісна, то таке зведення неможливе. Це виражається в тому, що в процесі перетворення матриці А в ній може з'явитися рядок, у якому всі елементи рівні нулю, крім останнього. Такий рядок буде відповідати рівнянню вигляду:

0x₁+0x₂+...+0x_n=B

або 0=B, якому не задовольняють ніякі значення невідомих (так як B¹0). вданому випадку система несумісна.