Дифференцируемость. Производные по направлению

Df: Пусть Df - область определения функции f Î R^N, f:Df®R^M, x^O Î D^Of (D^Of - множество внутренних точек), f - дифференцируема в x^O, если $ A Î R^M,N:

f(x^O +Dx) - f(x^O) = A Dx + o(Dx).

Всякие замечания:

f(x^O + Dx) - f(x^O) - вектор из m координат

ADx, o(Dx) - вектора из m координат

A Î R^M,N - т.е. a - m,n матрица (m - строк, n - столбцов)

Элементы матрицы A зависят только от x^O

o(Dx) = aDx, a®0 при Dx ® 0

a - матрица, ее элементы зависят от x^O и x

Следствие: f дифференцируема в x^O => f непрерывна в x^O

Df: Пусть f:dÍR^{N ®}R^M, x^O Î D^O. Если lim f((x^O+Dx₁) - f(x^O))/Dx₁ при Dx₁®0 - существует, то это и есть частная производная функции f по переменной x₁ при фиксированном

значении всех остальных переменных.

Df: Пусть f:dÍR^N®R^M, e - произвольный единичный вектор, x^O Î D^O. Если lim f((x⁰+te)-f(x⁰))/t при t®0 - существует, то это и есть производная функции f по направлению е.

lim f((x⁰+te)-f(x⁰))/t = ¶f/¶e(x⁰). Если функция дифференцируема: берем te = Dx => lim f((x⁰+te)-f(x⁰))/t = lim(Ate + ate)/t = Ae при t®0 (т.к. a®0 при Dx®0, т.е. te®0 <=> t®0)

¶e = ei = [0, 0,...,1 на i-том месте, 0,...,0] ¶f/¶ei(x⁰) = [A_1i,...,A_Mi], ¶f/¶e(x⁰) = (¶f(x⁰)/¶x₁,...,¶f(x⁰)/¶x_N)e - справа - скалярное произведение векторов.

Df: Вектор (¶f(x⁰)/¶x₁,...,¶f(x₀) - называется градиентом функции f в точке x⁰ и обозначается grad f(x⁰).

-|grad f(x⁰)||e| £ grad f(x⁰)e = ¶f/¶e(x⁰) = grad f(x⁰)e £ |grad f(x⁰)||e| = |grad f(x⁰)|

¶f/¶e(x⁰) £ |grad f(x⁰)|, но ¶f/¶e(x⁰) = grad f(x⁰)e = |grad f(x⁰)| <=> cos угла между градиентом и e равен 1 => угол равен 0 => ¶f/¶e(x⁰) - max в направлении градиента => градиент - направление наибольшего роста

Th: Если все частные производные функции f:DÍR^N®R непрерывны в точке x⁰, то f дифференцируема в точке x⁰.

Доказательство: x = [x₁,...,x_N], x' = [x₂,...x_N], x = (x₁,x'), x^O = (x^O₁,x'^O)

f(x₁,x')-f(x^O₁,x')=¶f(x^O₁,x')/¶x₁*Dx₁ - получили по формуле конечных приращений Лагранжа, равенство приблизительное т. к. формула Лагранжа: f(x)-(x0) = f'(x⁰ + qDx)*Dx, где

q Î (0,1) => f(x) - f(x^O)» f'(x⁰)Dx

f = f(x) - f(x^O) = f(x₁,x') - f(x^O₁,x'^O) = f(x₁,x') - f(x^O₁,x') + f(x^O₁,x') - f(x^O₁,x'^O) =