Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте

Df: A Í R^N, x^O Î A; x^O - внутренняя точка A, если $R: O_R(x^O) Í A. A^O - множество внутренних точек.

Df: A Í R^N, x^O - необязана лежать в А; x^O - предельная точка A, если $E>0: O_E(x^O)ÇA¹Æ. A’ - множество предельных точек.

Df: A Í R^N; x^O - изолированная точка от A, если $E>0: O_E(x^O)ÇA=Æ. A’ - множество предельных точек.

Df: A - замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки (А^{^} = AÈA’)

Df: A - ограничено, если $ E>0: A £ O_E(x⁰) - где x^O - произвольная точка множества A.

Df: A - открыто, если каждая точка множества A является его внутренней точкой.

Th: 1) Если А замкнуто, то СА = R^N\A - открыто

2) Если А открыто, то СА = R^N\A - замкнуто

Доказательство:

1) x^O Î CA => x^O Ï A = AÈA’ => x^O Ï A’ => $E>0: O_E(x^O)ÇA=Æ => x Î O_E(x^O)ÇA => x Î CA => O_E(x^O)ÇA Í CA

2) x^O Î (CA)’\CA => x^O Î A => x^O Î (CA)’ÇA => x^O Î A => $E>0: O_E(x^O)ÍA => O_E(x^O)ÇA => x Î CA => O_E(x^O)ÇCA = Æ => x^O - изолированна от СА => x^OÎ (CA)’

Df: A Í R^N - компактно, если оно ограничено и замкнуто.

Th: Пусть K - компактно в R^N и {x^M} - фундаментальная последовательность из K, тогда lim x^M Î K.

Доказательство:

x^O - предельна в прежнем смысле

E=1/m: O_E(x^O)ÇA=Æ => 0 < r(x^M,x^O) < 1/m пользуясь предельным переходом при m®¥, получаем 0 < r(x^M,x^O) < 0 => r(x^M,x^O) = 0

Лемма: x^O - предельная точка А, если $ последовательность {x^M}ÎА lim x^M = x^O, x^M ¹ x^O

x^O - предельна в новом смысле

x^M Î O_E(x^O)ÇA, lim x^M = lim x^O => $m_O: r(x^Mo,x^O) < E

x^M®x^O => Ai x^Mi®x^Oi => |x^Mi-x^Oi| < r(x^Mo,x^O); r(x^Mo,x^O) £ r₃(x^Mo,x^O)®0