И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции

f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b]

Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) = - непрерывна на [a,b].

Доказательство: Так как f Î L[a,b] => f - ограничена на [a,b] => $ M: |f(t)|<M

F(x + Dx) = = F(x) +

|F(x+Dx) - F(x)| = | | £ | | - переход к неравенству по свойству интеграла | | £ | | = MDx (использовали то, что |f(t)|<M). => Получили |F(x+Dx) - F(x)| £ MDx => при Dx®0 F(x+Dx)®F(x) - определение непрерывности

Th: Пусть f Î L[a,b] и f непрерывна в точке x Î [a,b], тогда d = f(x) или dF(x)/dx = f(x) или F’(x) = f(x)

Доказательство: |(F(x+Dx)-F(x))/Dx - f(x)| = |1/Dx* - 1/Dx * ) =1/Dx* , где f(x) - константа

Из непрерывности f(t) в точке x получаем: " E>0 $ d>0: |t-x| < d => |f(t)-f(x)| < E

Возьмем Dx < d => |t-x| < Dx < d => |f(t)-f(x)| < E

Получили: 1/Dx* < 1/Dx* =1/Dx*EDx = E => |(F(x+Dx)-F(x))/Dx - f(x)| < E

Следствие: Если f(t) непрерывна на [a,b], то f имеет первообразную на [a,b]

Доказательство: Если f(t) непрерывна на [a,b] => она непрерывна на [a,x] (x Î[a,b]) => по теореме об интегрировании непрерывных функций существует => существует функция F(x) = , а по только что доказанной теореме F’(x)=f(x), т.е. F(x) является первообразной функции f.