Интегральный признак сходимости ряда

Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны:

1) - сходится

2) S_0...¥ f_N - сходится

1=>2: в силу монотонности f(t) ³ f(x) ³ f(t+1) x Î [t, t+1] интегрируя на [t, t+1] получим: f(t) ³ ³ f(t+1)

Суммируя эти неравенства от t = 1 до t = n, получим:

1) S_1...N f(t) ³ ³ S_1...N f(t+1)

2) S_N ³ ³ S_N+1 - f(1)

3) £ => S_N+1 £ + f(1)

Подпоследовательность последовательности частичных cумм ряда c положительными членами ограничена сверху => она сходится как ограниченная монотонная последовательность => монотонная последовательность частичных cумм ряда сходится, так как сходится ее подпоследовательность => ряд сходится

2=>1: если ряд сходится и его сумма равна S, то S_N £ S => £ S_N £ S=> £ £ S => - сходится по Лемме.

Лемма: Пусть F(x) монотонно возрастает при x®b-, тогда $ lim F(x) при x®b-

Доказательство: M = sup F(x) (M-E,M] - окрестность точки M, $ b': F(b')>M-E => M-F(b')<E, M-F(b')>0 => M-F(b')>-E => |M-F(b')|<E