Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте

f:R^N ® R^M (при m = 1 - это фунция от n переменных)

f:D Î R^N ® R^M

A Î R^N - предел этой вектор функции, x_O Î D => lim f(x) = A при x®x_O

Df по Коши: " E>0 $ d>0: x Î DÇO_d(x_O) => f(x) Î O’_E(A)

Df по Гейне: " x_N®x0 => f(x) ® A (x_O ¹ x_N Î D)

Утверждение: Определения по КОШИ и по ГЕЙНЕ эквивалентны.

Доказательство:

К=>Г: "Е>0 $ d>0: x Î DÇO_d(x₀) => f(x) Î O'_E(A); х_N®x_O, х_N ¹ х_O

Т.к. х_N®x_O => $ n_O: " n>n_O: x_N Î DÇO_d(x₀) => f(x_N) Î O'_E(A) => f(x)®A (x_O ¹ x_N Î D)

Г=>К: Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрица ние А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из ^ØК => ^ØГ

^ØК: $ Е>0: " d>0 $x: x Î DÇO_d(x₀) => f(x) Ï O'_E(A)

^ØГ: $ хn->хо, хn<>хо: |f(xn)-A|>=E

СТ х_N®x_O, х_N¹x_O => $ n_O: " n>n_O: x Î DÇO_d(x₀) => по отрицанию определения Коши f(x) Ï O'_E(A).

1) lim [af(x) + bg(x)] = alimf(x) + blimg(x), если оба предела $.

2) f,g: D Î R^N ® R => lim f*g = limf * limg

3) f,g: D Î R^N ® R^M => f*g = S_1...M fi*gi => limf*g = limf * limg

Доказательство 3: (2 - частный случай при m=1)

f: D Î R^N ® R^M => limf(x) = A <=> "i limfi(x) = A при x®x_O

limf*g при x®x_O = lim S_1...M fi*gi при x®x_O = S_1...M lim fi*gi = lim f(x)*lim g(x)

4) f,g:D Î R^N ® R => lim f/g = limf / limg (limg ¹ 0)

Df: f: D Î R^N ® R^M, lim f(x) = f(x_O), то говорят, что отображение в точке x_O непрерывно.

Th: D Î R^N ¾f® D' Î R^M ¾g® R^K => h: D Î R^N ® R^K = f(g). Если f непрерывна в точке x0, g непрерывна в точке f(x0), тогда h непрерывна в точке x_O.

Доказательство: Нужно доказать, что lim h(x) = h(x_O) = z_O

" E>0 $ d': y ÎO_d‘(y₀)ÇDg => h(x) Î O_E’(z₀), где z₀ - внутренняя точка, но без границ, то есть значение функции р(x) не может

попасть на границу E-окрестности точки z₀.

По заданному d' найдем d: "E>0 $d: x Î Od(x₀)ÇDf => f(x) Î O_d‘(f(x₀))

x ÎO_d(x₀) => f(x) Î O_d‘(y_O) => h(x) Î O_E’(z₀)

x^O - обязана быть предельной точкой области определения => в любой окрестности точки x^O есть точка области определения функции f. Аналогично для g.

Th Вейерштрасса: Пусть f:K Î R^N ® R, где K - компакт (замкнутое, ограниченное множество) и f непрерывна на К (для функции одной переменной компакт - замкнутый отрезок), тогда $ x’,x’’ Î K: " x Î K: f(x’) £ f(x) £ f(x’’)

Доказательство: supf(x) = M Î RÇ{+¥}. Рассматривая f(x) как ограниченную посл-сть можно выделить подпосл-сть f(Ck) сходящуся к M.

f(C_K) Î K f(C_K) ³ M - 1/k если M < ¥; f(C_K) ³ k если M = ¥

Из ограниченного множества C_K выберем посл-сть C_ks®x’’ Î K limf(C_Ks) = f(x’’) при s®¥, но C_Ks получено из C_K отбрасыванием конечного числа членов => предел не изменился, а предел C_K - M => lim f(C_Ks) = M. Получили: M = f(x"):

M ³ f(x) ³ M -1/k => f(x") ³ f(x) ³ f(x") - 1/k, в частности f(x") ³ f(x)

Если вместо f взять -f, то можно используя доказанное рассмотреть x'=inf f(x) = sup -f(x)

Df: f - равномерно непрерывна на A: если " E>0 $ d>0: r(m₁,m₂)<d => r(f(m₁),f(m₂) < E

Th Кантора: Если f непрерывна на компакте => f равномерно непрерывна на этом компакте.

Доказательство: от противного:

Пусть f не равномерно непрерывна на K. Построим отрицание равномерной непрерывности: $ Е>0 " d>0: r(m₁,m₂)<d => r(f(m₁),f(m₂)) ³ E.

Возьмем d=1/к, пусть m_О - предельная точка, тогда $ посл-сть m_K: m_K ®m_O, при k®¥ " d: r(m_K,m_O)<d => r(f(m_K),f(m_O)) ³ E

Из непрерывности f следует: при k®¥ r(f(m_K),f(m₂)) ® r(f(m_O),f(m₂)) ³ E®E, 0 ³ E - противоречие