Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Основные методы нахождения ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размера , то есть имеющую строк и столбцов. Выделим в ней произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка .

Минором -го порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы, получаемой из данной выделением произвольных строк и столбцов.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Если ранг матрицы равен , то это означает, что в матрице есть хотя бы один отличный от нуля минор порядка , но всякий минор порядка, больше чем , равен нулю. Ранг матрицы обозначают или .

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Если ранг матрицы равен рангу матрицы , то есть , то матрицы называют эквивалентными и записывают .

Основные методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор М_k+1 порядка k + 1, содержащий в себе минор M_k, порядка k, называется окаймляющим минором M_k. Если у матрицы А существует минор M_k ≠ 0, а все окаймляющие его миноры M_k+1= 0, то rang A = k.