Определители, свойства, вычисление

Число называется детерминантом (определителем) этой матрицы и обозначается символом:

или .

Итак, , то есть для вычисления определителя матрицы надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Пример: .

Свойства этого определителя:

Свойство 1: При перестановке строк матрицы на место столбцов и обратно определитель матрицы не меняется.

Пусть задана матрица , а матрица получена из перестановкой строк на место столбцов.

называется транспонированной матрицей по отношению к .

Тогда, .

Свойство 2: При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный.

Пусть задана матрица , полученная из перестановкой столбцов. Тогда,

.

Свойство 3: Если матрица имеет два одинаковых столбца (или строки), то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 4: Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.

; .

;

.

Свойство 5: Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы равны нулю, то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 6: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк матрицы пропорциональны, то .

; .

Свойство 7: Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответственные столбцы матрицы и состоят из этих слагаемых.

; ; .

Тогда, .

Свойство 8: Определитель матрицы не меняется, если к элементам какого-либо столбца (или строки) матрицы прибавить элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.

Пусть и .

Тогда,