Комбинацией векторов

Опр.14. Система векторов называется линейно независимой, если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что все = 0, т.е. . (3.2)

Если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что хотя бы одно из чисел , то система векторов (3.1) называется линейно зависимой.

Если система содержит более одного вектора , то линейная зависимость её означает, что по крайней мере один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов системы. Действительно, пусть векторы линейно зависимы и пусть . Тогда в равенстве (3.2) можно обе части разделить на и выразить вектор через остальные векторы; т.е. представить его в виде их линейной комбинации:

.

Обозначив ; ; … , получим

. (3.3)

Если все члены равенства (3.3) перенести в одну сторону, то получим , т.е. линейная комбинация равна нулю при условии, что коэффициент при векторе отличен от нуля. Он равен (-1).

Вывод. Если хотя бы один из векторов является их линейной комбинацией (т.е. выражается через другие), то вся система векторов является линейно зависимой. Необходимым и достаточным условиями линейной зависимости двух векторов на плоскости (в пространстве R²) является их коллинеарность, а в трёхмерном пространстве (R³) - их компланарность.

Система, состоящая из одного вектора (пространство R¹), будет линейно зависима, если этот вектор нулевой, а если он отличен от нуля – то линейно независима.

В пространстве (на прямой) линейно независимая система не может содержать более одного вектора, т.е. система из двух (и более) векторов всегда линейно зависима.

В пространстве (на плоскости) линейно независимая система не может содержать более двух векторов, т.е. любая система из трёх (и более) векторов линейно зависима.

Если в линейном пространстве имеется линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется конечномерным, если же линейное пространство таково, что в нём существуют системы сколь угодно большого числа линейно независимых векторов, то это пространство называется бесконечномерным.

Максимально возможное число линейно независимых векторов в конечномерном пространстве называют размерностью этого пространства. Если размерность пространства равна , то его называют - мерным ().

Опр.15. Система линейно независимых векторов в - мерном пространстве называется базисом этого пространства.

По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причём единственным образом.

Разложить вектор по векторам базиса – это представить его в виде линейной комбинации векторов этого базиса.

Если базисом является линейно независимых векторов , то разложение любого вектора по этому базису имеет вид: . (3.4)

Коэффициенты этого разложения, т.е. числа называются координатами вектора в данном базисе.

Для нахождения этих чисел нужно составить систему - линейных уравнений с этими неизвестными, и решить её.

Каждое уравнение составляется по формуле (3.3) из соответствующих координат этих векторов.

П р и м е р
Даны векторы: ; ; ; .

Показать, что векторы образуют базис и разложить вектор по этому базису.

Решение. Векторы образуют базис в трёхмерном пространстве, если они линейно независимы, поэтому нужно составить определитель из координат этих векторов. Если он равен нулю, то его строки (а следовательно и векторы) являются линейно зависимыми, т.е. они не могут образовывать базис, если определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы и образуют базис.

Разложить вектор по базису - это значит представить его в виде линейной комбинации этих векторов:

. (*)

Так как вектор получается из векторов базиса по формуле (*), то и каждая его координата получается из соответствующих координат этих векторов по этой же формуле (*).