![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Опр.14. Система векторов называется линейно независимой, если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что все
= 0, т.е.
. (3.2)
Если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что хотя бы одно из чисел , то система векторов (3.1) называется линейно зависимой.
Если система содержит более одного вектора , то линейная зависимость её означает, что по крайней мере один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов системы. Действительно, пусть векторы
линейно зависимы и пусть
. Тогда в равенстве (3.2) можно обе части разделить на
и выразить вектор
через остальные векторы; т.е. представить его в виде их линейной комбинации:
.
Обозначив ;
; …
, получим
. (3.3)
Если все члены равенства (3.3) перенести в одну сторону, то получим , т.е. линейная комбинация равна нулю при условии, что коэффициент при векторе
отличен от нуля. Он равен (-1).
Вывод. Если хотя бы один из векторов является их линейной комбинацией (т.е. выражается через другие), то вся система векторов является линейно зависимой. Необходимым и достаточным условиями линейной зависимости двух векторов на плоскости (в пространстве R2) является их коллинеарность, а в трёхмерном пространстве (R3) - их компланарность.
Система, состоящая из одного вектора (пространство R1), будет линейно зависима, если этот вектор нулевой, а если он отличен от нуля – то линейно независима.
В пространстве (на прямой) линейно независимая система не может содержать более одного вектора, т.е. система из двух (и более) векторов всегда линейно зависима.
В пространстве (на плоскости) линейно независимая система не может содержать более двух векторов, т.е. любая система из трёх (и более) векторов линейно зависима.
Если в линейном пространстве имеется линейно независимых векторов, а любые
векторов линейно зависимы, то пространство называется конечномерным, если же линейное пространство таково, что в нём существуют системы сколь угодно большого числа линейно независимых векторов, то это пространство называется бесконечномерным.
Максимально возможное число линейно независимых векторов в конечномерном пространстве называют размерностью этого пространства. Если размерность пространства равна , то его называют
- мерным (
).
Опр.15. Система линейно независимых векторов в
- мерном пространстве называется базисом этого пространства.
По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причём единственным образом.
Разложить вектор по векторам базиса – это представить его в виде линейной комбинации векторов этого базиса.
Если базисом является линейно независимых векторов
, то разложение любого вектора
по этому базису имеет вид:
. (3.4)
Коэффициенты этого разложения, т.е. числа называются координатами вектора
в данном базисе.
Для нахождения этих чисел нужно составить систему
- линейных уравнений с этими неизвестными, и решить её.
Каждое уравнение составляется по формуле (3.3) из соответствующих координат этих векторов.
П р и м е р
Даны векторы: ;
;
;
.
Показать, что векторы образуют базис и разложить вектор
по этому базису.
Решение. Векторы образуют базис в трёхмерном пространстве, если они линейно независимы, поэтому нужно составить определитель из координат этих векторов. Если он равен нулю, то его строки (а следовательно и векторы) являются линейно зависимыми, т.е. они не могут образовывать базис, если определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы и образуют базис.
Разложить вектор по базису
- это значит представить его в виде линейной комбинации этих векторов:
. (*)
Так как вектор получается из векторов базиса по формуле (*), то и каждая его координата получается из соответствующих координат этих векторов по этой же формуле (*).
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 405 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!