Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l.

Опр.10 Проекцией точки М на ось l называется основание М₁

перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Опр.11.Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка , взятая со знаком «+», если направление его совпадает с направлением оси и со знаком «-», если направление противоположно направлению оси.

Обозначается .

Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла , который вектор образует с осью.

При этом углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором против хода часовой стрелки.

4.Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл.

Если задана система координат на плоскости и в пространстве, то начало вектора можно всегда совместить с началом координат, не меняя при этом длину и направление. Выделим на координатных осях единичные векторы и обозначим .Выберем произвольный вектор . Найдем проекции вектора на координатные оси.

Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения с осями обозначим соответственно через М₁,М₂,М₃. Получили прямоугольный параллелепипед, одной диагональю которого является .

Тогда ; ;

. По определению суммы получим, что , но т.к. ,то

.

Но , ,

Обозначим проекции на координатные оси, через .

Получим - эта формула является основной в векторном исчислении и называется Разложение вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора а.

Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл.

Векторное равенство иногда записывают в символическом виде .

Зная проекции вектора легко можно найти его длину, т.е. модуль. На основании теоремы о длине диагонали параллелепипеда .

Т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. координат.

Пусть углы вектора с координатными осями соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось имеем .(*)

Опр.12 Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Если вектор задан на плоскости, то .

Они обладают замечательным свойством:

.

Для .

Из формул (*) следует, что координатами единичного вектора являются направляющие косинусы, т.е. .

5. Действия над векторами в координатной форме

Для любой точки в ДСК координаты вектора ОМ- радиус –вектора являются её координатами

Если начало вектора не совпадает с началом координат, но известны координаты начальной A и конечной B точек, то координаты вектора представляют собой разности одноименных координат его начальной и конечной точек.

Пусть A(x₁;y₁), а B(x₂;y₂), тогда

.

Это в двумерном пространстве (R²).

Аналогично в трехмерном пространстве. Если , , то

Если известны координаты вектора , то его модуль равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

.

Если , то .

Направляющие косинусы любого вектора вычисляются по нижеприведенным формулам:

.

Пусть и .

Если векторы и коллинеарны, то соответствующие координаты их пропорциональны: .

Верно и обратное, т.е. если выполняется соотношение,то êê .