Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютная величина (модуль) действительного числа х обозначается | x | и определяется:

Из определения следует, что | x | ≥ 0 для любого x.

Существуют следующие теоремы:

1) Неравенство | x | ≤ a, где a> 0, равносильно двойному неравенству:

- а ≤ х ≤ а

2) Из неравенства | x | ≥ а следует, что х ≥ а или х ≤ - а.

3) | x + y | ≤ | x | + | y |.

4) | x – y | ≥ | x | – | y |.

5) | x y | = | x | | y |, .

Примеры. 1) Решить неравенство | x – 3| ≤ 5.

Из 1-й теоремы следует двойное неравенство: -5 ≤ х – 3 ≤ 5 или -2 ≤ х – 3 ≤ 8.

2) Решить неравенство (x + 4)² ≥ 9.

Извлекая квадратный корень, получаем неравенство | x + 4| ≥ 3.

Из 2-й теоремы следуют неравенства: x + 4 ≥ 3 или x + 4 ≤ -3.

Далее, x ≥ -1 или x ≤ -7.