Ряд Тейлора

или

Ряд Тейлора для некоторых функций:

(сходится при )

Ряд Фурье для функции , определенной на и периодически продолженной на R с периодом :

,

где

В частности, при :

,

где

Если - четная, ,

если - нечетная, .

Комплексные числа

- мнимая единица,,

- комплексное число (алгебраическая форма записи)

- действительная часть, - мнимая часть комплексного числа

- комплексно-сопряженное число

- модуль комплексного числа (, , )

- аргумент комплексного числа (угол между радиус-вектором точки и действительной осью).

- тригонометрическая форма записи комплексного числа.

- показательная форма записи комплексного числа.

Операции:

1)

2)

1) - ф. Муавра

2)

Формулы Эйлера:

,

Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Д.у. с разделяющимися переменными

или

Решение: или

2. Однородные д.у.

Решение: подстановка или (отсюда , )

3. Линейные д.у.

Решение: I.

II. - (метод Лагранжа)

4. Уравнение Бернулли

Решение: подстановка или метод Лагранжа.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для однородного уравнения

- характеристическое уравнение, каждому корню которого (характеристическому числу) соответствует одно слагаемое в решении:

Если -кратный характеристический корень, то

1)

2)

3)

4)

Общее решение неоднородного уравнения

имеет вид: , где - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.

Преобразование Лапласа для функции :

- оригинал, - изображение.

Изображения некоторых функций:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Теорема дифференцирования оригинала