Аналитическая геометрия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Векторы:

Коллинеарные векторы: || || т, || т (т – некоторая прямая)

Компланарные векторы: || ω, || ω, || ω (ω – некоторая плоскость)

Ортогональная проекция вектора на вектор :

Координаты вектора – коэффициенты разложения вектора по базису

или проекции вектора на координатные оси (базисные векторы):

, ,

Теорема: линейные операции над векторами соответствуют аналогичным операциям над их координатами. Т.е. если , , то ,

Скалярное произведение векторов

Основные свойства:

1. (критерий ортогональности векторов)

2. (если , )

3.

4.

Векторное произведение векторов

- вектор, длина которого , а направление таково, что он перпендикулярен обоим множителям , и тройки имеют одинаковую ориентацию.

Основные свойства:

1.

2. ||

3. ( – площадь параллелограмма)

4. (если , )

Смешанное произведение векторов

Основные свойства:

1.

2. - компланарны

3. ( – объем параллелепипеда)

4.

Полярные координаты

- полярный радиус,

- полярный угол

Связь полярных и декартовых координат:

Способы задания прямой на плоскости

1. По точке и направляющему вектору

Прямая , содержащая точку М ₀(х ₀, у ₀) (начальная точка прямой), и параллельная вектору ║ (направляющий вектор прямой):

(каноническое уравнение)

2. По двум точкам

М₀(х₀,у₀), М₁(х₁,у₁) :

3. Параметрическое задание

М ₀(х ₀, у ₀) , ║

4. По точке и угловому коэффициенту

М ₀(х ₀, у ₀) ,

(или )

5. По точке и нормальному вектору

М ₀(х ₀, у ₀) ,

Любая прямая на плоскости задается уравнением , причем - ее нормальный вектор.

Связь между направляющим, нормальным вектором и угловым коэффициентом прямой:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

1) ║ а) ║

б)

в) ║

2) ≡ а)

б) ,

в) ║ ,

3) а)

б)

в)

Угол между прямыми:

или

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Способы задания плоскости

1. По точке и двум направляющим векторам

М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) ω, ║ ω,

2. По трем точкам

3. Параметрическое задание

М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) ω, ║ ω,

4. По точке и нормальному вектору

М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) ω,

Любая плоскость задается уравнением , при этом - ее нормальный вектор.

Способы задания прямой в пространстве

1. По точке и направляющему вектору

М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) , ║

2. По двум точкам

М₀(х₀,у₀, z ₀ ), М₁(х₁,у₁, z ₁ )

3. Параметрическое задание

М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) , ║

4. Пересечением плоскостей

Взаимное расположение плоскостей

Взаимное расположение прямых

,

Взаимное расположение прямой и плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Эллипс

a, b – большая и малая полуоси, - эксцентриситет

2 с – фокальное расстояние, , - фокусы

Гипербола

a, b – действительная и мнимая полуоси, - эксцентриситет

2 с – фокальное расстояние, , - фокусы

Парабола

р – фокальный параметр:

- фокус, - директриса, - эксцентриситет