Теорема3.(Лагранжа)

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b] и имеет конечную производную в (a,b), то $ cÎ(a,b), что f(a)-f(b)=f`(c)(a-b).

Доказательство.

Введём вспомогательную функцию Y(x)=f(x)-f(a)-

Эта функция определена и непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), Y(a)=0=Y(b).

Т.е. Y(x) удовлетворяет теореме Ролля. Тогда $cÎ[a,b] Y`(c)=0

Y`(x)=f`(x)- , иY(c)=f`(c)-

f`(c)= , т.е. f(b)-f(a)=f`(c)(b-a).