П.2 Предел функции

Определение1. Число а называется пределом функции у=f(х), при х стремящемся к х₀ (), если для любой последовательности{x_n} сходящейся к x₀ последовательность{f(x_n)=y_n} сходится к а.

Из определения 1 следует, что для предела функции справедливы все теоремы, справедливые для предела последовательности.

Определение2. Число а называется пределом функции у=f(x) при х стремящимся к х₀ (),если "e>0 $ d>0 "х ½х-х₀½<dÞ½f(x)-a½<e. Легко показать, что определение1 равносильно определению2. Мы будем пользоваться обоими этими определениями.

Теорема1. (1-ый замечательный предел)

Доказательство.1)Пусть х>0, т.е. х-угол, измеренный в радианах, лежащий в 1-ой четверти. Дан тригонометрический круг (окружность радиуса R=1). Рассмотрим треугольник ОАВ, сектор ОАВ и треугольник ОСВ.

S_OAB< S_{сектора}< S_OCB

ОВ ·АН< хR< ОВ·СВ

OB·AH<xR<OB·CB

OB=R=1, AH=sinx, CB=tgx.

Таким образом 0<sinx<x<tgx. Поделим все части этого неравенства на sinx>0.

0<1< < . Перевернём все дроби

0<cosx< <1. (1)

При х®0, cosx®1, 1®1.

По лемме о 2-х милиционерах ®1при х®0.

2) Пусть -х<0, т.е. –х-угол в IV четверти. В неравенстве (1) везде вместо х подставим -х

cos(-x)=cosx, = =

Ни одна величина в (1) не изменилась, значит неравенство справедливо при -хÎIV четверти. Теорема1 доказана.

Теорема2. (2-ой замечательный предел)

(или в равносильной формулировке ).

Теорема3. (Бином Ньютона)

, где

или в более подробной записи

(а+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+C_n²a^n-2b²+C_n³a^n-3b³+¼+C_n^n-2a²b^n-2+na^n-1b+bⁿ.

П.3 Определение производной. Таблица производных.

Определение1. Пусть у=f(x)-произвольная функция, х₀-значение аргумента получило приращение х и стало равным х. х=х-х₀ (приращение может быть отрицательным), тогда функция изменила своё значение с у₀=f(x₀) до y₁=f(x₁),т.е. функцияy=f(x) получила приращение у= f(x)=f(x)-f(x₀). Если существует конечный предел , то он называется производной функции в точке х₀.

Из определения производной и теоремы о связи между сходящейся и бесконечно малой следует

=f¢(x₀)+a(x), где a(x)®0 при x®0 или f(x)=f¢(x₀) x+a(x) x (1)

Определение2. Функция f(x) непрерывна в точке х₀, если =f(x₀) (2)

Из (1) следует что если функция имеет производную в точке х₀, то она в этой точке непрерывна.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение 2-х функций, непрерывных в точке х₀, непрерывно в точке х=х₀. Частное двух непрерывных в точке х₀ функций непрерывно в точке х₀, если g(x₀)¹0.

Доказательство этой теоремы следует из теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (функциями) и определения непрерывной функции (формула(2)).

Определение3. Пусть даны две функции у=f(u) и U=Y(x), y=F(x)=f(Y(x)) называется их суперпозицией (у=F(x) называется сложной функцией).

Пример1. y=cosx², y=cosu, u=x²,

y=e^tgx y=e^u u=tgx

Теорема2.(о производной сложной функции)

Пусть у=f(u) и u=Y(x) имеют производные в точках u₀ и х₀ соответственно, причём u₀=Y(x₀), то y=F(x)=f(Y(x)) имеет производную в точке х₀ и

F¢(x₀)=f(Y(x₀))¢=f¢(u₀)Y¢(x₀).

Доказательство. Из(1) Df=f¢(u₀)Du+a₁(u)Du, (4)

DY=Y¢(x₀)Dx+a₂(x)Dx, (5)

a₁(u)-бесконечно малая при Du®0, a₂(х)-бесконечно малая при Dх®0

Т.к. функция u=Y(x) имеет производную в точке х₀, то Y(x) непрерывна в точке х₀, следовательно при Dх®0 Du=DY(x)®0,т.е.a₁(u) будет бесконечно малой при Dх®0.

Разделим (4) на Dх, получим =f¢(x₀) +a₁(u) , u=Y(x), значит

=f¢(x₀) +a₁(Y) .

Перейдём к пределу при Dх®0

lim =F¢(x)=f¢(u₀)lim +lima₁(Y) =f¢(x₀)Y¢(x₀)+0=f¢(x₀)Y¢(x₀).

Определение4. Пусть у=f(x) определена, непрерывна и строго убывает (возрастает) в некоторой окрестности точки х₀, тогда существует функция х=f ^-1(y)- которая называется обратной к у=f(x) в некоторой окрестности точки у₀₌f(x₀), при этом f(f^-1(y))=y, f^-1(f(x))=x.