П.1. Числовые последовательности и пределы

Пусть задано такое множество {c1,c2,¼,c4,¼} пронумерованных действительных чисел, что по номеру элемента мы можем назвать числовое значение данного элемента, а по числовому значению элемента его номер в данном множестве. Тогда говорят, что задана числовая последовательность.

Числовая последовательность обозначается {c_n} или просто c_n.

Существуют различные способы задания числовых последовательностей.

1) Формулой общего члена c_n=(-1)ⁿ Откуда c₁= , c₂= , c₃= , c₄= , ¼c₁₀₀= ,¼

2) перечислением элементов последовательности 1, , , ¼ Откуда c_n=

Определение1. Число а называется пределом последовательности {c_n}, если
"e>0 $ n₀ "n>n₀ ½c_n-а½<e (Для любого положительного числа e, существует такой номер n₀, что для всех номеров n>n₀ модуль ½c_n-а½<e). Обозначается

Пример1. c_n= . Покажем, что данная последовательность имеет своим пределом число 0. Пусть e- произвольное число большее 0 (на самом деле очень малое). Надо найти такой номер n₀, что все элементы c_n0+1, c_n0+2, ¼, c_n0+k,¼(т.е. n>n₀) удовлетворяют условию ½c_n-а ½< e (c_n= , а=0). Решим это неравенство: ½ -0 ½<e, <e, n> , достаточно взять n₀= [1/e]- целая часть числа 1/e. Тогда для всех n [1/e]+1 неравенство выполняется. Следовательно

Определение2. Последовательность {c_n} называется бесконечно малой, если

, т.е. "e>0 $ n₀ "n>n₀ êc_n½< e.

Определение3. Последовательность {c_n} называется бесконечно большой, если

т.е."E>0 $ n₀ "_n>n₀ ½c_n½>E

Пример 2. Последовательности {a_n}= , { b_n}= , {g_n}= , {d_n}= - бесконечно малые. Здесь n!=1,2,3¼n. 0!=1, 1!=1, 2!=1×2=2, 3!=1×2×3=6, 4!=1×2×3×4=24 и т.д.

Последовательности {c_n}={n}, {y_n}={n²},{z_n}={2ⁿ}- бесконечно большие.

Свойства предела последовательности.

1°. Если и а > r (а < r), то начиная с некоторого номера х_n> r (x_n< r).

Доказательство. Т.к. , то "e>0 $ n₀ "n>n₀ ½x_n-a ½<e или -e< x_n-a <e или а-e< х_n<a+e.

Т.е. в e- окрестности точки а (в интервале (а-e, а+e)) cодержатся все элементы последовательности , начиная с номера n₀+1.

Пусть а>r. Т.к. e- любое число, положительное, выберем его так, чтобы а-Е было больше r

а-e

r а х (Можно взять e= )

Тогда " n>n₀ r< а-e < х_n< a+e, т.е. х_n>r. Аналогично для случая а< r.

2°. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

3°. Если {х_n}={у_n}, то

4°. Если х_n< у_n, то

5°. Если х_n у_n, то

6°. (Лемма о двух милиционерах) Пусть х_n у_n z_n (или х_n< у_n< z_n), ,

Тогда последовательность у_n имеет предел

Доказательство. Т.к. , то "e< 0 $ n₁ "n>n₁ a-e< x_n< a+e (1)

Т.к. , то "e>0 $ n₂ "n>n₂ a-e< z_n < a+e (2).

Пусть n₀=max {n_1, n₂ }, тогда " n>n₀ выполнено и неравенство (1) и неравенство (2), т.е." n>n₀ a-e<x_n£ у_n£ z_n< a+e, т.е. a-e< у_n<a+e, т.е.

Теорема 1. 1. (Связь между сходящимисяи бесконечно малыми)Последовательность {a_n}- бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность - бесконечно большая (схематически это будет означать =¥).

2. Последовательность {x_n}- бесконечно большая тогда и только тогда, когда последовательность -бесконечно малая (схематически =0).

Определение4. Последовательность{x_n} называется сходящейся, если она имеет конечный предел, последовательность{x_n} называется расходящейся если она не имеет предела или её предел равен ¥. Говорят, что сходящаяся последовательность сходится к числу

Теорема2. Последовательность{x_n} является сходящейся (сходится к числу а) тогда и только тогда, когда последовательность {х_n-a}-бесконечно малая.

Из этой теоремы получаем, если , то a-x_n=a_n, где a_n- бесконечно малая, тогда а=х_n+a_n. Т.е. Û a=x_n+a,где a_n-бесконечно малая.

Теорема3. (арифметические операции над сходящимися последовательностями)

Пусть , , тогда

1. =a±b

2. =a×b

3. при b¹0 =