Теорема1.(теорема Ферма)

Пусть f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, достигает максимума или минимума в точке х₀ Î(a,b) и имеет конечную f`(x<sub>0</sub>), то f`(x₀)=0.

Доказательство.

Допустим в точке х₀- максимум(т.е. наибольшее значение из всех возможных значений для х из данной окрестности), тогда "х из этой окрестности f(x)<f(x₀).

Рассмотрим , пусть х<х₀, тогда f(x)<f(x₀), т.е. f(x)-f(x₀)<0, x-x₀<0, т.е.

>0 (1), при х>х₀ аналогично получаем <0 (2). Тогда перейдём к пределу в неравенствах (1) и (2) при Dх®0. Из (1) следует, f`(x<sub>0</sub>)= , из (2) f`(x₀)= .Отсюда f`(x₀)=0. Аналогичные рассуждения для случая минимального значения f(x₀).