Теорема.(правила дифференцирования)

Если существуют производные U¢(x) и V¢(x) то

1) (C)¢=0

2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)

3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

4) =

5) (CU(x))¢=C(U(x))¢

Доказательство.

1) у=f(x)=C=const

Пусть х получил приращение Dх, тогда f(x+Dx)=C, значит Dy=f(x+Dx)-f(x)=C-C=0.

Следовательно C¢=lim =lim =0

2) Пусть Y=U(x)±V(x)

DY=Y(x+Dx)-Y(x)=(U(x+Dx)±V(x+Dx))-(U(x)±V(x))

Y¢(x)= = ()= ± =U¢(x)±V¢(x)

3) Пусть Y(x)=U(x)V(x)

DY(x)=Y(x+Dx)-Y(x)=U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x)=(U(x+Dx)V(x+Dx)-U(x)V(x+Dx))

+(U(x)V(x+Dx)-U(x)V(x))=(U(x+Dx)-U(x))V(x+Dx)+U(x)(V(x+Dx)-V(x))=

=DUV(x+Dx)+U(x)DV

Y¢(x)= = ( V(x+Dx)+U(x) )= V(x+Dx)+ U(x) =

V(x+Dx)+ U(x) =U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x).

Здесь V(x+Dx)=V(x), т.к. из существования производной V¢(x) следует непрерывностьV(x), а равенство следует из определения непрерывности.

4) Пусть Y(x)=

DY=Y(x+Dx)-Y(x)=

=

=

Y¢(x)= = ( V(x)-U(x) )= ·

( V(x)- U(x) )= (U¢(x)V(x)-U(x)V¢(x))=

= .

Равенство V(x+Dx)=V(x) следует из непрерывности функции y=V(x), а непрерывность следует из существования производной.

5) (CU(x))¢=C¢U(x)+CU¢(x)=0U(x)+CU¢(x) =CU¢(x).

Таблица производных.

1.	C¢=0
2.	x’=1
3.	(xn)¢=nxn-1	(un)¢=nun-1u¢
4.	(cosx)¢=-sinx	(cosu)¢=-sinu u¢
5.	(sinx)¢=cosx	(sinu)¢=cosu u¢
6.	(tgx)¢=	(tgu)¢= u¢
7.	(ctgx)¢=-	(ctgu)¢=- u¢
8.	(arctgx)¢=	(arctgu)¢= u¢
9.	(arcctgx)¢=-	(arcctgu)¢=- u¢
10.	(arcsinx)¢=	(arcsinu)¢= u¢
11.	(arccosx)¢=-	(arcosu)¢=- u¢
12.	(ax)¢=axlna	(au)¢=aulna u¢
13.	(ex)¢=ex	(eu)¢=euu¢
14.	(logax)¢=	(logau)¢= u¢
15.	(lnx)¢=	(lnu)¢= u¢

1. (xⁿ)¢=nx^n-1 nÎZ, xÎR

(xⁿ)¢=
(nx^n-1+ x^n-2Dx+…+ x(Dx)^n-2+ (Dx)^n-1) nx^n-1

Обоснуем переходы

(1)- по биному Ньютона, (2) почленное деление на Dх, (3) Cn^k x^n-kDx^k®0 при k¹0 т.к.Dх®0.

2. (сosx)¢=

= - sin(x+ ) -sinx

Здесь:

(1)- применили формулу разности косинусов

(2)- поделили Dх на 2 и умножили на 2

(3)- предел произведения равен произведению пределов

(4)- применили 1-ый замечательный предел и воспользовались непрерывностью функции у=sinx

3. (tgx)`=()`=

4. y=arctgx xÎR, -p/2<arctgx<p/2 – обратная к функции x=tgy по теореме о производной обратной функции

(arctgx)`=

5. y=arccosx, xÎ[-1,1], 0 , y=arccosx- обратная функция для х=cosy. По теореме о производной обратной функции

(arccosx)`=

(1)- воспользовались основным тригонометрическим тождеством

cos²a+sin²a=1, sin²a=1-cos²a,

sina=± , у нас a=arccosx т.к. ,то sin(arccosx)³0.

6. (lnx)`= ln

= ln((1+

(1)- воспользовались свойством логарифма lna-lnb=ln

(2)- воспользовались свойством логарифма k ln b=lnb^k

(3)- воспользовались 2-ым замечательным пределом и непрерывностью функции у=lnx

(4)- воспользовались тем, что lne^1/x- константа и c=с

7. (log_ax)`= . (следует из 6.)

8. у=а^х, а>0, а¹1. Прологарифмируем это равенство.

lny=lna^x; lny=xlna.
Продифференцируем последнее равенство

(lny)`=(xlna)`; y`=lna откуда y`=ylna; y`=a^xlna.

Здесь (lny)`= y`- по теореме о производной сложной функции.

9.(e^x)`=e^xlne=e^x (следует из 8.)

Остальные формулы разбирает студент самостоятельно.

Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.

Определение1. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀,если f(x)=f(x₀).

Из определения 1 мы получаем

f(x)= f(x₀) т.е. f(x)- f(x₀)=0, т.е. (f(x)-f(x₀))=0, т.е. Df(x)=0,

здесь Dх=х-х₀- является приращением аргумента, а f(x)-f(x₀)=Dy является приращением функции. Отсюда получаем

Определение1`. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х_0, если Dy=0

Т.е. при бесконечно малом приращении аргумента приращение функции бесконечно мало.

Теорема1. Если функция y=f(x) имеет в точке х₀ производную, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство.

Пусть f `(x<sub>0</sub>)= . Отсюда f `(x₀)= где a(х)®0 при Dх®0 т.е. Dу=f ‘(x₀)Dx+a(x)Dx. f `(x<sub>0</sub>)-const, Dx- бесконечно малая, т.е.f `(x₀)Dx- б.м.

a(х) и Dх - оба б.м., значит a(х)Dх- б.м., таким образом при Dх®0 Dу®0, следовательно у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Теорема2. (о прохождении через нуль).

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,b] (т.е. непрерывна " xÎ[a,b]), пусть на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е.f(a)f(b)<0. Тогда $ сÎ(a,b),что f(c)=0. (без доказательства)

Теорема3. (о прохождении через любое промежуточное значение)

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b], f(a)¹f(b), f(a)=A, f(b)=B.(либо А>В, либо В>А) Пусть В>А, тогда "CÎ(A,B) $ cÎ(a,b), что f(c)= C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Y(x)=f(x)-C

Y(a)=f(a)-C=A-C<0

Y(b)=f(b)-C=B-C>0
Тогда Y(x) удовлетворяет теореме о прохождении через нуль, т.е. $ с Î(a,b), Y(c)=0

Таким образом Y(c)=f(c)-C=0, следовательно f(c)=C.

Теорема4.(1-ая теорема Вейерштраса).

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b],то f(x) ограничена на [a,b].(без доказательства)

Теорема5.(2-ая теорема Вейерштраса)

Если f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения. (без доказательства)