Тема 9. Классическая и квантовые статистики. Уравнение Ферми-Дирака. Электроны в металле

Основные формулы

Распределение Максвелла-Больцмана по энергиям

f (W) = A exp(- W / kT)

Каноническое распределение Гиббса определяет вероятность данного состояния с энергией W/

f (W) = A exp(- W / kT),

где А постоянная и определяется из условия нормировки к 1

Квантовые распределения

Статистика Бозе-Эйнштейна для бозонов определяет вероятность данного состояния по энергиям

Статистика Ферми-Дирака для фермионов определяет вероятность данного состояния по энергиям

Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле

При Т =0 dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW.

При Т ¹ 0 dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³)

Энергия Ферми при Т = 0 К

W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3 =h²/8 m (3 n/ p)^2/3

Температура вырождения

Т_вр = 2p ћ ² n ^2/3/(km)

Энергия Ферми при Т ¹ 0

Средняя энергия Ферми при Т= 0К определяется по формуле

Задачи

Найдите температуру, при которой вероятность того, что электрон в металле
займет состояние с энергией, равной двум энергиям Ферми, составляла бы 20%.
Энергия Ферми равна 3,13 эВ., постоянная Больцмана к = 1,38× 10^-23 Дж/К.

Найдите уровень Ферми в собственном полупроводнике, если ширина
запрещенной зоны равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической
энергии электронов принять нижний уровень зоны проводимости.

Найдите, во сколько раз отличается вероятность того, что электрон в металле
займет состояние с энергией (W_F - кТ) и энергией (W_F + кТ). W_F энергия Ферми.

Найдите отношение концентраций свободных электронов в литии и цезии при Т = 0, если известно, что уровни Ферми у этих металлов равны соответственно W_F = 4,72 эВ и W_F = 1,53 эВ.

Найдите вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое
состояние на 0,05 эВ ниже уровня Ферми при температуре 290 К.

Найдите погрешность в процентах при вычислении вероятности того, что
электрон имеет энергию W = W_F + 4 кT, где W_F-энергия Ферми, если в
распределении Ферми-Дирака принять, что ехр[(W- W_F) / kT ]>> 1.

Средняя энергия свободных электронов в некотором металле при Т= 0 равна 3 эВ. Найдите максимальную скорость электронов. m =9,I 10^-31 кг.

При каком условии распределение электронов по энергетическим состояниям в металле (распределение Ферми-Дирака) принимает вид: f(W) = А∙ ехр ( - W/кT), то есть переходит в распределение Больцмана. Найдите коэффициент А.

Энергия Ферми для серебра 5,51 эВ. 1) Какова средняя энергия свободных электронов в серебре при Т = О К? 2) Какова скорость электронов при такой энергии? 3) При какой температуре молекулы идеального газа имели бы такую энергию?

Какова должна быть температура идеального газа, чтобы средняя кинетическая энергия его молекулы равнялась средней энергии Ферми электрона в меди? Энергия Ферми для меди 7,04 эВ. k= 1,38∙10²³ Дж/К, т_е = 9,1 ∙10^-31кг.

Найдите, во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми соответственно равны 11,7 эВ и 6,0 эВ. Энергия Ферми при Т =0К для металлов W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3. r_Al = 2700 кг/м³, r_Cu= 8900 кг/м³, m_Al= 27 кг/кмоль, m_Cu = 64 кг/кмоль.

.Найдите вероятность того, что электрон в металле имеет энергию W = W _F +ЗкТ, где W_F -энергия Ферми, если в распределении Ферми-Дирака принять, что exp[(-W_F)/ kT)]>>1.

Найдите вероятность того, что электрон в металле имеет энергию W = W_F – 2kT, где Е_F -энергия Ферми, k - постоянная Больцмана.

Найдите, сколько процентов свободных электронов в металле при T = 0 К имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т = 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW

Найдите, до какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов меди при T = 0 К. Энергия Ферми для меди 7 эВ. Постоянная Больцмана k= 1,38-10²³ Дж/К.

Воспользовавшись формулой распределения свободных электронов в металле вблизи T = 0, найдите при T = 0 среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна 5,5 эВ, Распределение свободных электронов в металле вблизи T = 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW

Воспользовавшись формулой распределения свободных электронов в металле вблизи T =0К dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p²ħ³) W ^1/2 dW,найдите при Т =0К максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна n = 2·10²⁸ м ^-3.

Найдите давление электронного газа в металлическом натрии при Т= 0, если концентрация свободных электронов в нем п = 2,5^.10²² см^-3. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа. Энергия Ферми вблизи T = 0 К равна 14,35ЭВ.

Электроны в металле находятся при температуре Т= 0К. Найдите относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т= 0 К имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW. Кусок металла объема К = 20 см³ находится при T= 0 К.

Найдите число свободных электронов, импульсы которых отличаются от p_max более, чем на 0,1 p_max. Энергия Ферми для этого металла равна 5 эВ. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т=0K по импульсам имеет вид dn(p) = (p ² ħ ³)^-1 p²dp.

Найдите максимальную энергию свободных электронов в меди при T = 0 К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному электрону. ρ= 8900 кг/м³, А =64 кг/кмоль. N_As = 6,02·10²⁶ 1/кмоль. Энергия Ферми вблизи T = 0 К: W_F =(ħ²/2 m)(3p² n)^2/3

Найдите число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при T = 0 К, если уровень Ферми W_F =3,07 эВ. Μ =23кг/кмоль, р = 970 кг/м³. Число Авогадро 6,02×10²⁶ 1/кмоль.

Металл находится при температуре, близкой T = 0.К Найдите, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от W_F /2 до W_F больше числа электронов с энергией от 0 до W_F /2. W_F -энергия Ферми. Распределение свободных электронов в металле вблизи Т= 0 имеет вид: dn (W) =(2^1/3 m)^3/2/(p² ħ³) W ^1/2 dW.

Определить концентрацию п свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми E_F,1 принять равной 1 эВ.

Определить отношение концентраций / свободных электронов при Т = 0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны W_F,1 = 4,72 эВ, W_F,2 = 1, 53 эВ.

Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т = 0 К. Уровень Ферми W_F для натрия равен 3,12 эВ. Плотность rнатрия равна 970 кг/м³.

Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны E_F,1 = 11,7 эВ, E_F,1 = 7,0 эВ?

Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале D W = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) = 290 К; 2) =58 К.

Вычислить среднюю кинетическую энергию (ε) электронов в металле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми W_F = 7 эВ.

Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить во сколь раз число электронов с кинетической энергией от W_F /2 до W_F больше числа электронов с энергией от 0 до W_F /2.

Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2 %.

Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 860 кг/м³.

Определить отношение концентрации электронов в металле (при Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не более, чем на D W, к концентрации электронов, энергии которых не превышает значения W = D W; D W принять равным 0,01 W_F.

Зная распределение dn(W) электронов в металле по энергиям, установить распределение dn (р) электронов по импульсам. Найти частный случай при Т = 0 К.

По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение dn (v) по скоростям: 1) при любой температуре Т; 2) при Т = 0 К.

Определить максимальную скорость электронов в металле при Т = 0 К, если уровень Ферми W_F = 5 эВ.

Выразить среднюю скорость электронов в металле при Т = 0 К через максимальную скорость . Вычислить для металла уровень Ферми которого при Т = 0 К равен 6 эВ.

Металл находиться при температуре Т = 0 К. определить во сколько раз число электронов со скоростям от / 2 до больше числа электронов со скоростями от 0 до / 2.

Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при Т= 0 К через максимальную скорость электронов. Функцию распределения по скоростям считать известной.

Зная распределение dn (v) электронов в металле по скоростям, выразить через максимальную скорость электронов в металле. Металл находится при Т= 0 К.