Тема 6 Принципы квантовой механики. Уравнение Шредингера. Гипотеза де Бройля

Основные формулы

Длина волны де Бройля при v<<c

l = h / p

Для релятивистской частицы (v» c)

Связь длина волны де Бройля с кинетической энергией частицы W _k

при v<<c

Для релятивистской частицы

,

где W₀ – энергия покоя.

Фазовая скорость волн де Бройля

v = w/ k = W/p = c²/v

Групповая скорость волн де Бройля

u = dw/dk = dW/dp = v.

Соотношение де Бройля

W = hv = ћw; р = ћ k,

где W –энергия частицы; р – импульс частицы; k – волновой вектор, n и w - частота и круговая частота волны де Бройля.

Стационарное уравнение Шредингера

,

где D - оператор Лапласа; y - волновая функция; m – масса частицы; W – полная энергия частицы; U - потенциальная энергия; ћ – постоянная Планка; - здесь р – импульс частицы; k - волновое число.

Плотность вероятности w обнаружить частицу в данной точке равна

w = | y|²

Вероятность обнаружить частицу в данном объеме V равна

Вероятность обнаружить частицу в интервале от х₁ до х ₂

Для частицы, находящейся на n энергетическом уровне в одномерной потенциальной яме, собственные значения энергии W _n определяются по формуле

,

где l - ширина ямы.

Волновая функция для данного случая имеет вид

Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины

n = l₁ ¤l₂ = k ₂ / k ₁,

где l₁ и l₂, k ₁ и k ₂ – длины волн де Бройля и волновые числа соответственно до барьера и на барьере соответственно.

Коэффициенты отражения r и пропускания d волн де Бройля через низкий барьер (U<W) бесконечной ширины

.

Коэффициент прозрачность D прямоугольного потенциального барьера U шириной l определяется по формуле

l ]

Задачи

· Найдите дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их
средней квадратичной скорости при температуре 20°С. Масса атома водорода
1,67×10 ^-27 кг. Постоянная Больцмана k= 1,38-10²³ Дж/К, Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с.

· Частица массы 10 г летит со скоростью 1000 м/с. Найдите длину волны де Бройля
этой частицы.

· Найдите длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов 1 кВ.

· Найдите длину волны де Бройля для протонов, прошедших ускоряющую
разность потенциалов 100 В.

· Найдите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов 510 кВ.

· Найдите дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их
наиболее вероятной скорости при температуре 27°С. Масса атома водорода m = 1,67×10^-27 кг.

· Найдите, при какой скорости электрона дебройлевская длина волны будет равна половине его комптоновской длины волны. Электрон считать релятивистским.

· Найдите дебройлевскую длину волны атома урана, имеющего кинетическую
энергию 100 эВ. Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, атомная масса урана А = 238 кг/кмоль, число Авогадро 6,02× 10²⁶ 1/кмоль.

· Найдите длину волны де Бройля нейтрона с энергией 0,023 эВ.
m_n = 1,675·10^-27кг.

10.Найдите ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 0,1 нм. Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, заряд электрона е= - 1,6·10^-19 Кл.

11.Найдите, на какую величину Dl будут отличаться значения дебройлевской длины волны частицы массы т, движущейся со скоростью v, если частицу считать:1- нерелятивистской, 2- релятивистской.

12.Найдите скорость частицы, при которой величины ее дебройлевской длины волны, вычисленные по нерелятивистской и релятивистской формулам, будут отличаться друг от друга на 10 %.

13.Найдите длину волны де Бройля для протона, имеющего кинетическую энергию W_k =1,67∙10-²⁷кг/Дж∙с

14.Найдите длину волны де Бройля нерелятивистского электрона, имеющего кинетическую энергию 100 эВ, постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с., m ₀ = 9,1·10^-31 кг.

15.Электрон движется по окружности радиуса 5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Найдите дебройлевскую длину волны электрона. Постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с.

16.Найдите длину волны де Бройля электрона, движущегося на второй боровской орбите атома водорода, постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, m_е = 9,1·10^-31 кг.

17.Найдите, какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 пм до 50 пм, постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, m_е = 9,1·10^-31 кг.

18.Найдите, при каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны. Комптоновская длина волны электрона λ = h/ (т_е∙ с). т_е = 9,1∙10^{- 31}кг.,

19.Найдите дебройлевскую длину волны протона с кинетической энергией, равной энергии покоя электрона. Протон считать нерелятивистским, h = 6,63·10^-34 Дж·с, m_е = 9,1·10^-31 кг, m_p =1,67∙10^-27кг

20.Скорость частицы составляет 0,6 скорости света в вакууме. Найдите, на сколько процентов будут отличаться величины дебройлевской длины волны частицы, если вычисления производить по нерелятивистской и релятивистской формулам,

21.Найдите выражение для дебройлевской длины волны релятивистского протона, движущегося с кинетической энергией W_k

22.Интерпретируйте квантовые условия Бора на основе волновых представлений; покажите, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число волн де Бройля.

23. Электрон находится в потенциальной яме шириной l на третьем энергетическом уровне. В каких точках этой ямы плотность вероятности нахождения электрона будет максимальна. В каких точках плотность вероятности нахождения электрона на 3 и 4 энергетических уровнях будет одинакова.

24..Электрон находится в потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. В каких точках этой ямы плотность вероятности нахождения электрона будет максимальна. В каких точках плотность вероятности нахождения электрона на 2 и 3 энергетических уровнях будет одинакова

25. Электрон находится в потенциальной яме шириной l =0,1мкм на втором энергетическом уровне. Определить энергию и импульс электрона на этом уровне. Найдите вероятность нахождения электрона на промежутке l /2 –3 l /4.

26. Электрон находится в двумерной потенциальной яме со сторонами l ₁ и l ₂ на втором энергетическом уровне. Определить точки в этой яме, где вероятность нахождения электрона на этом уровне максимальна.

27.Электрон с энергией W =100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность того, что электрон отразится от барьера.Прямоугольный барьер имеет ширину l = 0.1нм. При какой разности энергий U-W вероятность прохождения барьера электроном составит 50%.

28. Ядро испускает a - частицу с энергией 5 МэВ. Найти коэффициент прозрачности потенциального барьера высотой U=10 МэВ и шириной 5фм.

29. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Dj=10кВ. Во сколько раз отличаются прозрачности для этих частиц, если высота барьера равна 20 кэВ и ширина 0,1нм.