Тема 7. Соотношение неопределенностей

Основные формулы

Соотношение неопределенностей:

для координат и импульса векторной форме D р ×Dr £ ћ или в скалярной форме Dр_х ×D х ³ ћ; Dр_у ×D у ³ ћ; Dр_z ×D z ³ ћ,

где D р и Dr – неопределенность импульса частицы и ее радиуса вектора соответственно; ћ – постоянная Планка; Dр_х и D х; Dр_у и D у ћ; Dр_z и D z ћ неопределенность проекций импульса и координат частицы на соответствующие оси

Для энергии

DW ×Dt ³ћ, где Dt - неопределенность во времени,с.

Задачи

Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, найдите относительную неопределенность D р/р импульса этой частицы.

Используя соотношения неопределенностей, оцените минимальную энергию электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками.

1. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную ширину Dω/ωспектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии 10^-8 с и длина волны излучаемого фотона 600 нм.

Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную
кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферической области диаметра 0,1 нм. Считать, что р= Dр, т_е = 9,1∙10^-31 кг.

Найдите, во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше
неопределенности ее координаты Dх, которая соответствует относительной
неопределенности импульса в 0,1 %.

1. Принимая неопределенность координаты электрона в атоме равной 0,53·10^-9 м, то есть первому боровскому радиусу, оцените неопределенность импульса электрона Δр и энергию электрона (в эВ). Электрон считать нерелятивистским, h= 6,63·10 ^-34Дж·с.

2. Свободный электрон в момент t= 0 локализован в области Dх₀ = 0,1 нм. Оцените ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с, т_е = 9,1∙10^-31кг, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

3. Найдите неопределенность координаты Dх электрона, движущегося со
скоростью 2·10⁶ м/с, если относительная неопределенность его скорости Du/u составляет 10%, т_е = 9,1 ·10^-31кг.

4. Покажите, что если неопределенность координаты частицы равна Dх= l/2p,где l - дебройлевская длина волны частицы, то неопределенность в скорости частицы по порядку величины будет равна самой скорости.

5. Положение свободного электрона определяется с точностью 10^-4 см. Оцените: 1) неопределенность в его скорости, 2) радиус сферы, в пределах которой окажется электрон спустя 1 с, если Du=u, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

6. Найдите неопределенность координаты D х электрона, движущегося со скоростью 1,5·10⁶ м/с, если допустимая неопределенность скорости составляет 10 % от величины скорости, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

7. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию (в эВ) электрона, локализованного в области размером 0,2 нм. Электрон считать нерелятивистским, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

8. Положение частицы массы 1г измеряется с точностью 0,1 нм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную скорость, которая будет сообщена частице в процессе измерений.

9. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметра 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. т_е = 9,1∙10^-31 кг.

10. Частицы массы m движется в одномерном поле, где ее потенциальная энергия имеет вид: U=kx² /2 (гармонический осциллятор). Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле. Считать, что р ≈ D р и х≈Dх.

11. Оцените с помощью соотношения неопределенностей предел точности, с которой можно определить частоту излучения, если средний промежуток времени между возбуждением атома и последующим испусканием фотона составляет 10^-8 с.

12. Электрон с кинетической энергией 4 эВ локализован в области размером 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости, т_е = 9,1 ∙10^-31кг, ħ=1,05·10 ^-34Дж·с.

13. Оцените с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома равным 1 нм. Сравните полученную формулу со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома. т_е = 9,1∙10^-31кг, е =1,6·10 ^-19 Кл., e₀= 8,85·10^-12 Кл²/Нм².

14. Оцените с помощью соотношения неопределенностей линейные размеры ядра, считая, что минимальная энергия протона в ядре равна 10 МэВ ħ=1,05·10 ^-34Дж·с, т _р= 1,67·10^-27 кг.

15. Используя соотношения неопределенностей, оцените естественную ширину спектральной линии излучения Dl атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10^-8с, длина волны излучения 500 нм.

16. Протон с кинетической энергией W_к = 4 эВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оцените с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. т _р= 1,67·10^-27 кг.

17. Время возбуждения атома 10^-8 с. Используя соотношение неопределенностей, найдите предел точности, с которой можно определить частоту излучаемого света.

18. Ширина следа электрона на фотопластинке составила 1 мм. Какова неопределенность в определении скорости электрона в соответствии с соотношением неопределенностей. h= 6,63∙10^-34 Дж·с, т_е = 9,1∙10^-31 кг.

19. Время жизни возбужденного атома 10^-8 с. Оцените с помощью соотношения неопределенностей ширину энергетического уровня, на котором находился электрон в возбужденном атоме водорода при переходе в основное состояние. h= 6,63∙10^-34 Дж·с