Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи Коши

,

по начальным данным. Пусть - решение задачи Коши с начальным условием .

Тогда для функции можно написать дифференциальное уравнение

, ,

где

, .

Решая дифференциальное уравнение, получаем

,

следовательно, если наложить условие

, (т.е. ),

то можно сделать вывод

т.е. решение задачи устойчиво по начальным данным (погрешность не возрастает). Если же , то получаем неравенство

т.е. решение исходной задачи неустойчиво по начальным данным.

Решение задачи (2) ведет себя аналогично решению линейного дифференциального уравнения

, , , , (3)

которое можно рассматривать как модельное при исследовании устойчивости. Решение этого уравнения имеет вид , его модуль не возрастает при , т.е. , и решение устойчиво.