Сценарий построения разностных схем

В разделе 3.2.1. был приведен общий вид разностной схемы для многошаговых методов. В частности, для решения задачи Коши

, .

наиболее употребительными являются -шаговые методы вида

, , (12)

Рассмотренные нами в предыдущих разделах одношаговые методы являются частными случаями формулы (12). Например, при , , , получаем явную схему Эйлера.

Схема (12) будет явной, если (в таком случае она называется экстраполяционной). Значения будут тогда определяться из предыдущих значений по явной формуле

.

Вычисления начинаются с . Чтобы найти , надо знать значения сеточной функции . Значения приходится вычислять с помощью какого-нибудь другого метода (например, Рунге - Кутта), используя начальное условие . Если же , то схема (12) будет неявной (интерполяционной). Тогда для нахождения необходимо решать нелинейное уравнение

Это уравнение можно решать, например, методом Ньютона.

Погрешность аппроксимации схемы (12) определяется формулой

, (13)

где - точное решение задачи Коши. Если , то схема имеет порядок аппроксимации, равный .

Коэффициенты в схеме (12) выбираются из условий аппроксимации и устойчивости. Кроме того, поскольку коэффициенты схемы определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что

.

Второе условие можно получить из того факта, что функция есть решение дифференциального уравнения при . В таком случае из (12) имеем

.

Разлагая (13) по степеням и требуя, чтобы погрешность имела заданный порядок, получим остальной набор условий для нахождения .

Исторически первые многошаговые схемы появились способом, отличным от вышеизложенного. Если проинтегрировать дифференциальное уравнение на отрезке , то получим формулу

.

Заменяя теперь в этом соотношении интеграл некоторой квадратурной формулой, выведенной с помощью замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по узлам , получим разностную схему Адамса. Ее можно записать в виде 4.8. Явные схемы Адамса