![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на задана сетка
, в узлах которой известны значения функции
. Сплайн третьей степени
, интерполирующий заданную функцию
, определяется как функция, удовлетворяющая условиям:
1)
2) Для любого частичного промежутка
-многочлен третьей степени
3)
Для задания надо определить 4 коэффициента для каждого промежутка
, т.е.
параметров.
Условия 1) требуют чтобы во внутренних узлах сплайн и его производные до 2-го порядка были непрерывны.
Это дает условия для определения параметров, еще
условие содержится в 3).
Итого имеем условия. Еще 2 условия, необходимые для однозначного определения сплайна, обычно задаются в виде граничных условий, т.е. условий в точках
и
.
Возьмем в качестве граничных условия
4)
Для построения кубического интерполяционного сплайна могут быть использованы различные подходы. Проведем построение сплайна, исходя из условий 1) - 4). Из 1) и 2) следует, что??? непрерывная функция, линейная на каждом т.е.??? - линейный сплайн.
Обозначив , получаем
(33)
для .
Интегрируя (5), получаем
(34)
(35)
и
- постоянные интегрирования.
Условия 3) дают:
(36)
Из (36) получаем:
Подставляя и
в (7), получаем:
(37)
После преобразования
из (37) получаем
(38)
Из (34) получаем
(39)
Из (39) находим односторонние пределы производной для узла ,
(40)
(41)
Подставляя (40) и (41) в условие непрерывности в узле
получаем:
(42)
Дополняя (42) равенствами из условия 4): , получаем систему уравнений относительно
вида:
(43)
с квадратной матрицей .
и квадратной матрицей
Координатами вектора являются значения
.
Для матрицы ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух соседних с ней. Такие матрицы называются трехдиагональными. Для
выполнено условие диагонального преобладания
.
Матрица с диагональным преобладанием невырождена. Следовательно, система (42) однозначно разрешима, т.е. существует единственный кубический интерполяционный сплайн. Кроме условий 4) - условий "свободного провисания" интерполяционной кривой в точках и
, могут быть известны наклоны интерполяционной кривой в граничных точках. Тогда условия на границах имеют вид:
(44)
Могут быть использованы и другие варианты.
Вид граничных условий меняет некоторые элементы матрицы , но в любом случае она остается матрицей с диагональным преобладанием.
Решение системы (43) с трехдиагональной матрицей может быть найдено посредством специального варианта метода последовательного исключения неизвестных, который называется методом прогонки.
Относительно оценки погрешности и сходимости интерполяций кубическими сплайнами имеют место следующие результаты:
если , то
, где
,
,
если ,
, то оценка имеет вид для
.
Из этих оценок следует сходимость интерполяционного процесса на последовательности сеток .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 538 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!