Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть (18)
Дифференцируя формулу (18) m раз, получаем:
(19)
(20)
Рассматривая интерполяционный многочлен в форме Ньютона и используя обозначения , имеем
Тогда
...
Оставляя в правых частях полученных формул только первые слагаемые, можно записать следующие простые приближенные выражения для производных:
................................................
Пусть - достаточно гладкая функция.
Исследуем погрешность приближенных формул для производных первого и второго порядка.
Пусть
(21)
где , - погрешность.
Заменяя значение функции в точке по формуле Тейлора
, где ,
получаем
.
Еще раз применяя формулу Тейлора, получаем
, где .
Таким образом, если функция имеет ограниченную производную второго порядка, то погрешность в формуле (21) для любого оценивается неравенством
(22)
где , и при .
В случае, когда совпадает с одним из узлов интерполяции или , можно получить больше информации о погрешности приближенного решения. Пусть . Используя формулу Тейлора
из (21) получаем
.
При величина (если третья производная функции ограничена) бесконечно малая величина порядка , т.е.
(23)
где .
Формулу приближенного вычисления второй производной функции рассмотрим для важного частного случая, когда . Возьмем . Тогда ее можно записать в виде
(24)
По формуле Тейлора
,
,
Подставляя эти выражения, получаем
Таким образом, если функция имеет ограниченную производную третьего порядка, то погрешность формулы (24) для произвольной точки оценивается следующим образом:
(25)
где .
Если , то используя для значений и формулу Тейлора, заканчивающуюся членом с производной 4 - го порядка, получаем для погрешности выражение
.
Таким образом, если функция имеет ограниченную производную 6-го порядка, то
(26)
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 233 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!