Использование интерполяционных многочленов с разделенными разностями

Пусть (18)

Дифференцируя формулу (18) m раз, получаем:

(19)

(20)

Рассматривая интерполяционный многочлен в форме Ньютона и используя обозначения , имеем

Тогда

...

Оставляя в правых частях полученных формул только первые слагаемые, можно записать следующие простые приближенные выражения для производных:

................................................

Пусть - достаточно гладкая функция.

Исследуем погрешность приближенных формул для производных первого и второго порядка.

Пусть

(21)

где , - погрешность.

Заменяя значение функции в точке по формуле Тейлора

, где ,

получаем

.

Еще раз применяя формулу Тейлора, получаем

, где .

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную второго порядка, то погрешность в формуле (21) для любого оценивается неравенством

(22)

где , и при .

В случае, когда совпадает с одним из узлов интерполяции или , можно получить больше информации о погрешности приближенного решения. Пусть . Используя формулу Тейлора

из (21) получаем

.

При величина (если третья производная функции ограничена) бесконечно малая величина порядка , т.е.

(23)

где .

Формулу приближенного вычисления второй производной функции рассмотрим для важного частного случая, когда . Возьмем . Тогда ее можно записать в виде

(24)

По формуле Тейлора

,

,

Подставляя эти выражения, получаем

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную третьего порядка, то погрешность формулы (24) для произвольной точки оценивается следующим образом:

(25)

где .

Если , то используя для значений и формулу Тейлора, заканчивающуюся членом с производной 4 - го порядка, получаем для погрешности выражение

.

Таким образом, если функция имеет ограниченную производную 6-го порядка, то

(26)