Оценка погрешности по методу Рунге

Погрешность приближенного решения во многих задачах, когда одним из определяющих параметров алгоритма является положительная величина - шаг сетки, можно записать в виде:

(27)

В частности, в таком виде записываются формулы (23) и (26) для погрешностей приближенного дифференцирования со значениями и .

На сетке с шагом при конечном имеем:

(28)

Пренебрегая в формулах (27) и (28) величинами (т.е. рассматривая только старший член погрешности), из (1) и (2) находим:

(29)

Так как , где - точное значение искомой величины, а ее приближение, полученное на сетке с шагом , то из (29) получаем

(30)

а подставив это в (27), получаем приближенную формулу для погрешности, которая называется первой формулой Рунге:

(31)

Эта формула дает величину погрешности с точностью до членов порядка .

Принципиальное отличие этой формулы от оценок погрешности типа , в том,что формула Рунге использует только полученные приближенные решения и не требует оценок каких-либо величин исходной задачи. Чаще всего на практике отношение шагов сетки .