Линейные геометрические объекты

Определение. Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а - произвольный вектор из . Множество элементов линейного пространства вида , где параметр пробегает множество вещественных чисел, называют прямой проходящей через точку по направлению вектора .

При прямая проходит через нулевой вектор пространства и представляет собой линейную оболочку направляющего вектора . Как и любая линейная оболочка эта прямая является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна единице, так как любой вектор может быть представлен в виде разложения по одному вектору , а любые два вектора такой прямой линейно зависимы.

В общем случае, при , прямая получается из линейного подпространства сдвигом на вектор .

Определение. Любое подмножество линейного пространства, полученное путем сдвига на некоторый фиксированный вектор, называют линейным многообразием. При этом размерность линейного многообразия считают равной размерности исходного подпространства.

Таким образом, прямая в линейном пространстве является одномерным линейным многообразием.

В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) прямая задается векторно-параметрическим уравнением , где - компоненты произвольной точки на прямой, - компоненты некоторой фиксированной точки на прямой, - компоненты направляющего вектора, - параметр.

Если прямую задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением в векторно-параметрической форме , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой, - радиус-вектор некоторой выбранной точки на прямой, - направляющий геометрический вектор.

Представив векторно-параметрическое уравнение прямой в реальном пространстве в покомпонентной записи, получаем три скалярных уравнения

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

Разрешая, полученные параметрические уравнения, относительно параметра и приравнивая полученные соотношения, приходим к каноническим уравнениям прямой

.

Замечание. Если одна или две компоненты направляющего вектора прямой равны нулю, то канонические уравнения принято записывать в символической форме, сохраняя нули в знаменателях.

Пример. Пусть некоторая прямая в реальном пространстве задана параметрическими уравнениями вида Тогда символическая запись канонических уравнений в виде означает, что данная прямая проходит через точку по направлению вектора .

Определение. Две любые прямые и линейного пространства называются параллельными, если их направляющие векторы и являются коллинеарными.

Пример. Пусть прямая имеет векторное уравнение , апрямая имеет векторное уравнение . По определению эти прямые являются параллельными, так как направляющий вектор второй прямой линейно выражается через направляющий вектор первой прямой по формуле , что позволяет считать направляющие векторы и коллинеарными.

Определение. Две любые прямые и евклидова пространства называются перпендикулярными, если их направляющие векторы и являются ортогональными.

В частности, если прямые и заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют, например, вид и . По определению эти прямые перпендикулярны, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, т.е. Аналогично, если прямые и заданы на плоскости, то их направляющие векторы имеют вид и ,а условие их перпендикулярности задается равенствами

Пример. Пусть прямая на плоскости задана уравнением с угловым коэффициентом в виде . Ее параметрические уравнения можно записать в виде:

Отсюда направляющий вектор этой прямой равен и прямая проходит через точку . Найдем прямую , проходящую через ту же точку , перпендикулярно первой прямой . Направляющий вектор прямой будем искать из условия перпендикулярности прямых, так что: .

Таким образом, параметрические уравнения прямой можно записать в виде

а ее уравнение с угловым коэффициентом будет иметь вид .

Определение. Угол между любыми прямыми и евклидова пространства определяется как наименьший угол между их направляющими векторами и , и вычисляется по формуле .

В частности, если прямые и заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют вид и .

По определению, угол между прямыми и рассчитывается по формуле:

.

Пример. Пусть прямые и на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом в виде и . Направляющий вектор первой прямой равен и прямая проходит через точку Направляющий вектор второй прямой равен и прямая проходит через точку По определению, угол между этими прямыми рассчитывается по формуле . Часто, пользуясь приведенной выше формулой, угол между двумя прямыми на плоскости выражают с помощью функции арктангенса по формуле .

Отметим также, что векторы и являютсяколлинеарными только в том случае, когда их вторые компоненты равны, т.е. . Отсюда следует, что прямые и , заданные уравнениями с угловым коэффициентом, параллельны, когда их угловые коэффициенты равны.

Через любые две различные точки и векторного пространства проходит одна и только одна прямая. Единственная прямая, проходящая через точки и , находится из общего уравнения прямой , и записывается в виде при векторно-параметрической форме записи, или в виде при точечной интерпретации арифметических векторов. Отметим, что при получаем , а при имеем .

Определение. Множество точек линейного пространства , задаваемых с помощью равенства вида называют отрезком, соединяющим точки , и обозначают .

В частности, в реальном пространстве отрезок задается при параметре с помощью параметрических уравнений где точка является левой границей отрезка, а точка есть правая граница отрезка.

Определение. Т очка отрезка делит его в отношении , если для направленных отрезков , выполняется равенство .

Для нахождения точки решается векторное уравнение , равносильное уравнению , о котором говорится в определении точки деления

В точечно-векторной записи получаем решение . Отсюда компоненты точки вычисляются по формулам

Если по условию задачи задано отношение , то из предшествующих формул следует, что точка находится по формуле , а компоненты точки вычисляются по формулам

Сравнивая последние формулы с определением отрезка, получаем, что точка находится из уравнения отрезка при условии, что параметр равен значению .

Если, в частности, требуется разделить отрезок в отношении , то изо всех приведенных формул следует, что точка лежит в центре отрезка и равна .

Определение. Пусть есть некоторое натуральное число, строго меньшее, чем размерность векторного пространства . Множество векторов линейного пространства вида называют -мерной плоскостью, проходящей через вектор , если - некоторый фиксированный вектор, параметры независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, векторы образуют систему линейно независимых векторов.

При плоскость проходит через нулевой вектор пространства и представляет собой линейную оболочку линейно независимых векторов . Как и любая линейная оболочка, плоскость, проходящая через нулевой вектор, является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна , так как любой вектор такой плоскости может быть представлен в виде разложения по векторам .

В общем случае, если , -мерная плоскость получается из линейной оболочки, натянутой на векторы , сдвигом на вектор .

Таким образом, можно сказать, что -мерная плоскость в линейном пространстве является -мерным линейным многообразием.

Одномерные плоскости есть определенные ранее прямые. Плоскости размерности называются гиперплоскостями.

В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) плоскость размерности два совпадает с гиперплоскостью, и обычно называется плоскостью.

Определение. Множество точек реального пространства вида называют плоскостью, проходящей через точку , если - некоторая фиксированная точка, параметры независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, арифметические векторы образуют систему линейно независимых векторов.

Реальное пространство имеет размерность три и является, по определению, пространством со скалярным произведением, т.е. является евклидовым пространством. Тогда для двух линейно независимых векторов , задающих направление плоскости, можно, используя алгоритм Грамма-Шмидта, построить третий ненулевой вектор , ортогональный им, таким образом, чтобы и .

Определение. Плоскость в реальном трехмерном пространстве задается с помощью векторно-точечного уравнения , где есть произвольный арифметический вектор (произвольная точка на плоскости), есть некоторый фиксированный арифметический вектор (фиксированная точка на плоскости), есть ненулевой, нормальный вектор.

Если плоскость задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением плоскости в векторной форме , где - радиус-вектор произвольной точки на плоскости, - радиус-вектор некоторой выбранной точки на плоскости, - нормальный геометрический вектор.

Зададим векторно-параметрическое уравнение плоскости в реальном пространстве в покомпонентной записи. Полученное уравнение , переписанное в стандартных буквенных обозначениях , называют общим уравнением плоскости. Отметим, что коэффициенты , стоящие в общем уравнении плоскости при переменных , являются компонентами нормального вектора, т.е. .

Пример. Пусть некоторая плоскость в реальном пространстве задана общим уравнением . Тогда нормальный вектор плоскости имеет вид , его направляющие косинусы имеют значения , а любая точка плоскости находится из общего уравнения, например, в виде .

С помощью векторно-точечного уравнения наша плоскость может быть задана в виде .

Определение. Две любые плоскости и реального пространства называются параллельными, если их нормальные векторы и являются коллинеарными. Если оба нормальных вектора имеют отличные от нуля компоненты, то условие параллельности плоскостей имеет вид .

Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением , аплоскость задана векторным уравнением По определению эти плоскости являются параллельными, так как нормальный вектор второй плоскости линейно выражается через нормальный вектор первой плоскости по формуле , что позволяет считать направляющие векторы коллинеарными.

Определение. Две любые плоскости и реального пространства называются перпендикулярными, если их нормальные векторы и являются ортогональными, т.е. их скалярное произведение равно нулю .

Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением , аплоскость задана векторным уравнением По определению эти плоскости являются перпендикулярными, так как скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю , т.е.векторы - ортогональны.

Определение. Угол между любыми плоскости и реального пространства определяется как меньший угол между их нормальными векторами и , и вычисляется по формуле .

Пример. Пусть требуется провести плоскость через некоторую фиксированную точку параллельно двум неколлинеарным векторам и . Так как векторы и по условию являются неколлинеарными, то их векторное произведение равно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам и . Поэтому нормальный вектор плоскости можно выбрать равным , т.е. .

Обозначим произвольную точку плоскости. Направленный отрезок лежит в искомой плоскости. Отсюда следует, что векторное уравнение задает искомую плоскость . Подставляя в уравнение вместо вектора равный ему вектор , получим уравнение , где в левой части стоит смешанное произведение векторов. Если в полученное векторное уравнение подставить компоненты векторов, то уравнение плоскости находят, раскрывая определитель .

В частности, пусть требуется провести плоскость через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и .

Подставляя данные примера в выведенное уравнение с определителем, получим

.

Пример. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной прямой. Обозначим произвольную точку плоскости. Направленные отрезки , , лежат в искомой плоскости. Так как точки , , не лежат на одной прямой, то векторы , являются неколлинеарными. Их векторное произведение равно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам , , и может рассматриваться как нормальный вектор плоскости.

По аналогии с предшествующей задачей, уравнение искомой плоскости можно найти, раскрывая определитель .

В частности, составим уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

Подставляя координаты точек в уравнение с определителем в левой части, получим

.

Определение. Углом между прямой и плоскостью в реальном пространстве называется меньший угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Для определения угла между прямой и плоскостью используется направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости , а сам угол вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислим угол между прямой

заданной как пересечение двух плоскостей, и плоскостью , заданной уравнением в общем виде .

Направляющий вектор прямой найдем как векторное произведение нормального вектора первой плоскости и нормального вектора второй плоскости

.

Отсюда, по формуле находим угол между прямой и плоскостью

.

Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки на плоскость и расстояние от точки до плоскости .

Под ортогональной проекцией точки на плоскость понимают точку пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с указанной плоскостью. Расстояние от точки до плоскости находят как расстояние от точки до точки .

Если прямая перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор может быть выбран равным нормальному вектору плоскости . Запишем уравнение прямой , проходящей через точку , в виде С тем, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , подставим параметрические уравнения прямой в плоскость. В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра : . Отсюда находится значение параметра , соответствующее ортогональной проекции , и координаты точки в следующем виде: ,

Расстояние между точками и равно длине направленного отрезка и вычисляется по формуле .

В частности, найдем проекцию точки на плоскость и расстояние от точки до плоскости .

В соответствии с общими формулами:

,

.

Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки на прямую и расстояние от точки до прямой .

Под ортогональной проекцией точки на прямую понимают точку пересечения плоскости , перпендикулярной к исходной прямой, с исходной прямой. Расстояние от точки до прямой находят как расстояние от точки до точки .

Если плоскость перпендикулярна прямой , то нормальный вектор плоскости может быть выбран равным направляющему вектору исходной прямой .

Запишем уравнение плоскости , перпендикулярной к исходной прямой, и проходящей через точку , в виде . Чтобы найти точку пересечения плоскости с прямой , подставим параметрические уравнения прямой в плоскость.

В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра : .

Отсюда находится значение параметра , соответствующее ортогональной проекции , и координаты точки в следующем виде: ,

Расстояние между точками и равно длине направленного отрезка и вычисляется по формуле .

В частности, найдем проекцию точки на прямую и расстояние от точки до плоскости . В соответствии с общими формулами:

,

.