![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а
- произвольный вектор из
. Множество элементов линейного пространства
вида
, где параметр
пробегает множество вещественных чисел, называют прямой проходящей через точку
по направлению вектора
.
При прямая проходит через нулевой вектор пространства
и представляет собой линейную оболочку направляющего вектора
. Как и любая линейная оболочка эта прямая является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна единице, так как любой вектор может быть представлен в виде разложения по одному вектору
, а любые два вектора такой прямой линейно зависимы.
В общем случае, при , прямая получается из линейного подпространства сдвигом на вектор
.
Определение. Любое подмножество линейного пространства, полученное путем сдвига на некоторый фиксированный вектор, называют линейным многообразием. При этом размерность линейного многообразия считают равной размерности исходного подпространства.
Таким образом, прямая в линейном пространстве является одномерным линейным многообразием.
В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) прямая задается векторно-параметрическим уравнением , где
- компоненты произвольной точки на прямой,
- компоненты некоторой фиксированной точки на прямой,
- компоненты направляющего вектора,
- параметр.
Если прямую задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением в векторно-параметрической форме , где
- радиус-вектор произвольной точки
на прямой,
- радиус-вектор некоторой выбранной точки
на прямой,
- направляющий геометрический вектор.
Представив векторно-параметрическое уравнение прямой в реальном пространстве в покомпонентной записи, получаем три скалярных уравнения
которые называются параметрическими уравнениями прямой.
Разрешая, полученные параметрические уравнения, относительно параметра и приравнивая полученные соотношения, приходим к каноническим уравнениям прямой
.
Замечание. Если одна или две компоненты направляющего вектора прямой равны нулю, то канонические уравнения принято записывать в символической форме, сохраняя нули в знаменателях.
Пример. Пусть некоторая прямая в реальном пространстве задана параметрическими уравнениями вида Тогда символическая запись канонических уравнений в виде
означает, что данная прямая проходит через точку
по направлению вектора
.
Определение. Две любые прямые и
линейного пространства называются параллельными, если их направляющие векторы
и
являются коллинеарными.
Пример. Пусть прямая имеет векторное уравнение
, апрямая
имеет векторное уравнение
. По определению эти прямые являются параллельными, так как направляющий вектор второй прямой
линейно выражается через направляющий вектор первой прямой
по формуле
, что позволяет считать направляющие векторы
и
коллинеарными.
Определение. Две любые прямые и
евклидова пространства называются перпендикулярными, если их направляющие векторы
и
являются ортогональными.
В частности, если прямые и
заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют, например, вид
и
. По определению эти прямые перпендикулярны, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, т.е.
Аналогично, если прямые
и
заданы на плоскости, то их направляющие векторы имеют вид
и
,а условие их перпендикулярности задается равенствами
Пример. Пусть прямая на плоскости задана уравнением с угловым коэффициентом в виде
. Ее параметрические уравнения можно записать в виде:
Отсюда направляющий вектор этой прямой равен и прямая
проходит через точку
. Найдем прямую
, проходящую через ту же точку
, перпендикулярно первой прямой
. Направляющий вектор
прямой
будем искать из условия перпендикулярности прямых, так что:
.
Таким образом, параметрические уравнения прямой можно записать в виде
а ее уравнение с угловым коэффициентом будет иметь вид .
Определение. Угол между любыми прямыми и
евклидова пространства определяется как наименьший угол между их направляющими векторами
и
, и вычисляется по формуле
.
В частности, если прямые и
заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют вид
и
.
По определению, угол между прямыми и
рассчитывается по формуле:
.
Пример. Пусть прямые и
на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом в виде
и
. Направляющий вектор первой прямой равен
и прямая проходит через точку
Направляющий вектор второй прямой равен
и прямая проходит через точку
По определению, угол между этими прямыми рассчитывается по формуле
. Часто, пользуясь приведенной выше формулой, угол между двумя прямыми на плоскости выражают с помощью функции арктангенса по формуле
.
Отметим также, что векторы и
являютсяколлинеарными только в том случае, когда их вторые компоненты равны, т.е.
. Отсюда следует, что прямые
и
, заданные уравнениями с угловым коэффициентом, параллельны, когда их угловые коэффициенты равны.
Через любые две различные точки и
векторного пространства
проходит одна и только одна прямая. Единственная прямая, проходящая через точки
и
, находится из общего уравнения прямой
, и записывается в виде
при векторно-параметрической форме записи, или в виде
при точечной интерпретации арифметических векторов. Отметим, что при
получаем
, а при
имеем
.
Определение. Множество точек линейного пространства
, задаваемых с помощью равенства вида
называют отрезком, соединяющим точки
, и обозначают
.
В частности, в реальном пространстве отрезок задается при параметре
с помощью параметрических уравнений
где точка
является левой границей отрезка, а точка
есть правая граница отрезка.
Определение. Т очка отрезка
делит его в отношении
, если для направленных отрезков
,
выполняется равенство
.
Для нахождения точки решается векторное уравнение
, равносильное уравнению
, о котором говорится в определении точки деления
В точечно-векторной записи получаем решение . Отсюда компоненты точки
вычисляются по формулам
Если по условию задачи задано отношение , то из предшествующих формул следует, что точка
находится по формуле
, а компоненты точки
вычисляются по формулам
Сравнивая последние формулы с определением отрезка, получаем, что точка находится из уравнения отрезка при условии, что параметр
равен значению
.
Если, в частности, требуется разделить отрезок в отношении , то изо всех приведенных формул следует, что точка
лежит в центре отрезка и равна
.
Определение. Пусть есть некоторое натуральное число, строго меньшее, чем размерность
векторного пространства
. Множество векторов линейного пространства вида
называют
-мерной плоскостью, проходящей через вектор
, если
- некоторый фиксированный вектор, параметры
независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, векторы
образуют систему линейно независимых векторов.
При плоскость проходит через нулевой вектор пространства
и представляет собой линейную оболочку линейно независимых векторов
. Как и любая линейная оболочка, плоскость, проходящая через нулевой вектор, является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна
, так как любой вектор такой плоскости может быть представлен в виде разложения по векторам
.
В общем случае, если ,
-мерная плоскость получается из линейной оболочки, натянутой на векторы
, сдвигом на вектор
.
Таким образом, можно сказать, что -мерная плоскость в линейном пространстве
является
-мерным линейным многообразием.
Одномерные плоскости есть определенные ранее прямые. Плоскости размерности называются гиперплоскостями.
В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) плоскость размерности два совпадает с гиперплоскостью, и обычно называется плоскостью.
Определение. Множество точек реального пространства вида
называют плоскостью, проходящей через точку
, если
- некоторая фиксированная точка, параметры
независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, арифметические векторы
образуют систему линейно независимых векторов.
Реальное пространство имеет размерность три и является, по определению, пространством со скалярным произведением, т.е. является евклидовым пространством. Тогда для двух линейно независимых векторов , задающих направление плоскости, можно, используя алгоритм Грамма-Шмидта, построить третий ненулевой вектор
, ортогональный им, таким образом, чтобы
и
.
Определение. Плоскость в реальном трехмерном пространстве задается с помощью векторно-точечного уравнения
, где
есть произвольный арифметический вектор (произвольная точка
на плоскости),
есть некоторый фиксированный арифметический вектор (фиксированная точка
на плоскости),
есть ненулевой, нормальный вектор.
Если плоскость задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением плоскости в векторной форме
, где
- радиус-вектор произвольной точки
на плоскости,
- радиус-вектор некоторой выбранной точки
на плоскости,
- нормальный геометрический вектор.
Зададим векторно-параметрическое уравнение плоскости в реальном пространстве в покомпонентной записи. Полученное уравнение , переписанное в стандартных буквенных обозначениях
, называют общим уравнением плоскости. Отметим, что коэффициенты
, стоящие в общем уравнении плоскости при переменных
, являются компонентами нормального вектора, т.е.
.
Пример. Пусть некоторая плоскость в реальном пространстве задана общим уравнением
. Тогда нормальный вектор плоскости имеет вид
, его направляющие косинусы имеют значения
, а любая точка плоскости находится из общего уравнения, например, в виде
.
С помощью векторно-точечного уравнения наша плоскость может быть задана в виде
.
Определение. Две любые плоскости и
реального пространства называются параллельными, если их нормальные векторы
и
являются коллинеарными. Если оба нормальных вектора имеют отличные от нуля компоненты, то условие параллельности плоскостей имеет вид
.
Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением
, аплоскость
задана векторным уравнением
По определению эти плоскости являются параллельными, так как нормальный вектор второй плоскости
линейно выражается через нормальный вектор первой плоскости
по формуле
, что позволяет считать направляющие векторы
коллинеарными.
Определение. Две любые плоскости и
реального пространства называются перпендикулярными, если их нормальные векторы
и
являются ортогональными, т.е. их скалярное произведение равно нулю
.
Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением
, аплоскость
задана векторным уравнением
По определению эти плоскости являются перпендикулярными, так как скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю
, т.е.векторы
- ортогональны.
Определение. Угол между любыми плоскости и
реального пространства определяется как меньший угол между их нормальными векторами
и
, и вычисляется по формуле
.
Пример. Пусть требуется провести плоскость через некоторую фиксированную точку
параллельно двум неколлинеарным векторам
и
. Так как векторы
и
по условию являются неколлинеарными, то их векторное произведение
равно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам
и
. Поэтому нормальный вектор плоскости
можно выбрать равным
, т.е.
.
Обозначим произвольную точку плоскости. Направленный отрезок
лежит в искомой плоскости. Отсюда следует, что векторное уравнение
задает искомую плоскость
. Подставляя в уравнение вместо вектора
равный ему вектор
, получим уравнение
, где в левой части стоит смешанное произведение векторов. Если в полученное векторное уравнение подставить компоненты векторов, то уравнение плоскости находят, раскрывая определитель
.
В частности, пусть требуется провести плоскость через точку
параллельно двум неколлинеарным векторам
и
.
Подставляя данные примера в выведенное уравнение с определителем, получим
.
Пример. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки ,
,
, не лежащие на одной прямой. Обозначим
произвольную точку плоскости. Направленные отрезки
,
,
лежат в искомой плоскости. Так как точки
,
,
не лежат на одной прямой, то векторы
,
являются неколлинеарными. Их векторное произведение
равно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам
,
, и может рассматриваться как нормальный вектор плоскости.
По аналогии с предшествующей задачей, уравнение искомой плоскости можно найти, раскрывая определитель .
В частности, составим уравнение плоскости, проходящей через три точки ,
,
.
Подставляя координаты точек в уравнение с определителем в левой части, получим
.
Определение. Углом между прямой
и плоскостью
в реальном пространстве называется меньший угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Для определения угла между прямой и плоскостью используется направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости
, а сам угол
вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислим угол между прямой
заданной как пересечение двух плоскостей, и плоскостью , заданной уравнением в общем виде
.
Направляющий вектор прямой
найдем как векторное произведение нормального вектора
первой плоскости
и нормального вектора
второй плоскости
.
Отсюда, по формуле находим угол между прямой
и плоскостью
.
Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки
на плоскость
и расстояние от точки
до плоскости
.
Под ортогональной проекцией точки на плоскость понимают точку пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с указанной плоскостью. Расстояние от точки до плоскости находят как расстояние от точки до точки
.
Если прямая перпендикулярна плоскости
, то ее направляющий вектор может быть выбран равным нормальному вектору
плоскости
. Запишем уравнение прямой
, проходящей через точку
, в виде
С тем, чтобы найти точку
пересечения прямой
с плоскостью
, подставим параметрические уравнения прямой в плоскость. В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра
:
. Отсюда находится значение параметра
, соответствующее ортогональной проекции
, и координаты точки
в следующем виде:
,
Расстояние между точками и
равно длине направленного отрезка
и вычисляется по формуле
.
В частности, найдем проекцию точки на плоскость
и расстояние от точки
до плоскости
.
В соответствии с общими формулами:
,
.
Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки
на прямую
и расстояние от точки
до прямой
.
Под ортогональной проекцией точки на прямую понимают точку пересечения плоскости
, перпендикулярной к исходной прямой, с исходной прямой. Расстояние от точки до прямой находят как расстояние от точки
до точки
.
Если плоскость перпендикулярна прямой
, то нормальный вектор плоскости может быть выбран равным направляющему вектору
исходной прямой
.
Запишем уравнение плоскости , перпендикулярной к исходной прямой, и проходящей через точку
, в виде
. Чтобы найти точку
пересечения плоскости
с прямой
, подставим параметрические уравнения прямой в плоскость.
В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра :
.
Отсюда находится значение параметра , соответствующее ортогональной проекции
, и координаты точки
в следующем виде:
,
Расстояние между точками и
равно длине направленного отрезка
и вычисляется по формуле
.
В частности, найдем проекцию точки на прямую
и расстояние от точки
до плоскости
. В соответствии с общими формулами:
,
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 3096 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!