Теорема (о приведении к ступенчатой матрице)

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.

Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных матриц с нулевыми элементами.

Пример. Приведем к ступенчатому виду следующую матрицу: .

На первом шаге выполним следующие элементарные преобразования над матрицей : к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и результат запишем во вторую строку; из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, а результат запишем в третью строку. В итоге матрица преобразуется к виду . На последнем шаге из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, и запишем в третью строку, в результате чего получим ступенчатую матрицу:

.