Теорема (о линейных свойствах координат векторов)

При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть любые два вектора имеют в базисе разложения , . Из аксиом линейного пространства следует, что сумма векторов и произведение вектора на число представимы в виде , .

Отсюда и теоремы о единственности разложения векторов по данному базису следует истинность доказываемой теоремы.