Теорема (о равносильных переходах)

Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.

Доказательство теоремы следует непосредственно из определения элементарных преобразований системы линейных уравнений общего вида.

Как видно из приведенных определений, элементарным преобразованиям системы полностью соответствуют элементарные преобразования строк так называемой

расширенной матрицы системы , которая получается из матрицы коэффициентов системы добавлением - го столбца, состоящего из правых частей уравнений системы.

На приведении расширенной матрицы системы к ступенчатым матрицам специального вида основан метод решения систем линейных уравнений, называемый методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.