Доказательство. Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исходной системы:

Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исходной системы: . Ранг расширенной матрицы за счет добавления одного столбца правой части системы может быть на единицу большим. Таким образом, для рангов рассматриваемых матриц всегда выполняется условие . Выполнив конечное число элементарных преобразований в соответствии с прямым ходом метода Гаусса, приведем расширенную матрицу системы к стандартному ступенчатому виду

.

С точностью до обозначения неизвестных, полученной ступенчатой матрице соответствует ступенчатая система уравнений, равносильная исходной системе. Назовем неизвестные, стоящие в первых столбцах преобразованной матрицы базисными и обозначим их для конкретности как . Оставшиеся неизвестные общим числом , назовем свободными и обозначим . Отметим, что свободные переменные появятся только в том случае, когда ранг матрицы коэффициентов строго меньше числа неизвестных.

Покажем необходимость условия теоремы, т. е. положим, что система совместна и докажем, что . Если система совместна, то в -ой строке полученной ступенчатой матрицы число должно быть равно нулю. Иначе в уравнении, соответствующем этой строке, слева от знака равенства стоит число, равное нулю, а справа стоит число отличное от нуля. Таким образом, число ненулевых строк в преобразованной расширенной матрице равно и по теореме о ранге матриц выполняются условия . Так как элементарные преобразования над расширенной матрицей не изменили ее ранга, то справедливо равенство , и, следовательно , что и требовалось доказать.

Покажем достаточность условия теоремы, т. е. положим, что и докажем, что система совместна. Воспользуемся логическим законом контрпозиции и докажем утверждение, равносильное исходному утверждению: «если система несовместна, то ». Если система несовместна, то в -ой строке, полученной ступенчатой матрицы, число должно быть отличным от нуля. Таким образом, число ненулевых строк в преобразованной расширенной матрице равно , и по теореме о ранге матриц выполняются условия . Так как ранг матрицы коэффициентов системы равен , то справедливо , что доказывает достаточность условия теоремы.

Таким образом, теорема Кронекера – Капелли полностью доказана.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы по методу Гаусса, использованные при доказательстве теоремы Кронекера – Капелли, позволяют эффективно исследовать и решать любые линейные системы.

Пример. Исследуем следующую систему уравнений:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

.

Первые три столбца этой матрицы образуют матрицу коэффициентов системы. Проводя элементарные преобразования расширенной матрицы, мы одновременно проводим соответствующие элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы. Преобразуем расширенную матрицу системы в соответствии с прямым ходом метода Гаусса: переставим первую и вторую строки; последовательно умножим новую первую строку на (-2) и на (-3) и сложим со второй и третьей строками; из третьей строки вычтем вторую и затем разделим вторую строку на число 5

.

Третье уравнение преобразованной по методу Гаусса системы, которое соответствует третьей строке преобразованной расширенной матрицы, не имеет решения. Поэтому не имеет решений (несовместна) и равносильная ей исходная система уравнений. При этом преобразованная матрица коэффициентов системы имеет две ненулевых строки и соответственно , а преобразованная расширенная матрица имеет три ненулевых строки и . Таким образом, условия теоремы Кронекера – Капелли не выполняются и исходная система из трех уравнений с тремя неизвестными – несовместна.

Следствие 1. Если система линейных уравнений совместна () и число неизвестных системы равно рангу матрицы системы , то система уравнений всегда имеет единственное решение.

Доказательство. Действительно, если условия следствия выполняются, то в -ой строке полученной ступенчатой матрицы число равно нулю, так что в матрице () -ая строка и все последующие (если эти строки имеются) являются нулевыми. Уравнения, отвечающие нулевым строкам, не влияют на множество решений и их можно не включать в преобразованную систему. Таким образом, независимо от числа уравнений в исходной системе, равносильная ей система уравнений, отвечающая ступенчатой матрице , является квадратной и невырожденной. По теореме Крамера такая система имеет единственное решение, что и требовалось доказать.

Отметим, что указанное в следствие единственное решение не обязательно искать по формулам Крамера. Более экономно продолжить преобразования матрицы , отбросив предварительно нулевые строки, и выполнить обратный ход метода Гаусса.

Пример. Решим методом Гаусса следующую систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу этой системы и выполним ее элементарные преобразования по методу Гаусса. Умножим первую строку последовательно на числа 2, 1, 4 и вычтем результаты соответственно из второй, третьей и четвертой строк; далее третью строку умножим на число (-1) и переставим вторую и третью строки местами:

Умножим теперь вторую строку на числа 3, 2 и вычтем результат последовательно из третьей и четвертой строк; из четвертой строки вычтем третью, а третью строку разделим на (-5).

.

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Анализируя полученную ступенчатую матрицу, можно сделать вывод о том, что и в преобразованной матрице коэффициентов, и в преобразованной расширенной матрице имеются по три ненулевых строки, так что . Число неизвестных в решаемой системе также равно трем, так что по следствию 1 исследуемая система имеет единственное решение. Это решение найдем, выписав систему уравнений, соответствующую ступенчатой матрице :

и выполняя обратный ход метода Гаусса. Для этого последовательно определим неизвестные, начиная с последнего уравнения и выполняя необходимые подстановки. Таким образом:

Следствие 2. Если система линейных уравнений совместна () и ранг матрицы системы строго меньше числа неизвестных системы: , то система уравнений всегда имеет бесконечно много решений.

Действительно, если условия следствия выполняются, то отбросим в ступенчатой матрице нулевые строки, которые не влияют на множество решений. Далее представим систему уравнений, отвечающую матрице , в следующем виде:

В этой системе слагаемые с базисными неизвестными оставлены в левых частях уравнений, а слагаемые со свободными неизвестными перенесены со знаком минус в правые части. Отметим, что разделение неизвестных на базисные и свободные возможно и в других комбинациях. В каждом случае получится одно и то же множество решений, представленное в различных формах записи. Обязательно только, чтобы неизвестные, выбранные как базисные, находились на пересечении базисных строк и базисных столбцов матрицы . Так как ранг матрицы равен , то определитель матрицы коэффициентов, представленной системы, отличен от нуля и по теореме Крамера при любых значениях правых частей, система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных. Свободные неизвестные могут принимать любые числовые значения и при записи общего решения исходной системы уравнений их полагают равными произвольным постоянным, так что . Базисные неизвестные находятся из представленной выше системы либо по формулам Крамера, либо по полной схеме метода Гаусса, и зависят от правых частей системы и произвольных постоянных:

Отметим, что формулы, выражающие все неизвестных в виде функций от произвольных постоянных , называют общим решением исходной системы. Напомним, что множество всех решений системы также обычно называют общим решением системы уравнений, и оно совпадает с общим решением, представленным с помощью произвольных постоянных.