Канонические уравнения

Первоначально установим общие положения, на основании ко­торых можно составить систему уравнений, необходимую для опре­деления неизвестных углов поворота и линейных перемещений узлов. Для этого сопоставим заданную систему с основной системой метода перемещений (рис. 6.18, а,б).

Рис.6.18.

Основная система отличается от заданной наличием дополнитель­ных связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям узлов, и появлением реактивных моментов во введенных заделках и реактивных,сил в добавленных стержнях. Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, если повернуть заделки на углы, рав­ные действительным поворотам узлов, и сместить узлы так, чтобы линейные перемещения их также были равны действительным, т. е. возникающим в заданной системе. После этого деформации основной системы и усилия в ней будут равны деформациям и усилиям задан­ной системы.

Отрицание реактивных усилий (сил или моментов) во введенных заделках и стержнях основной системы, т. е. отрицание реактивных усилий по направлениям неизвестных перемещений, лежит в основе уравнений метода перемещений, подобно тому, как в основе урав­нений метода сил лежит отрицание перемещений в основной системе по направлениям неизвестных усилий.

Таблица 6.2

№ п/п	Схема балки и воздействия на нее	Эпюры изгибающих моментов (ординаты отложены со стороны растянутого волокна) и реакции	Формулы
			; ; ;
			; ;
			;
			;
			, где h – высота поперечного сечения; α – температурный коэффициент линейного расширения;
			; ; ; ;
			;
			; ;
			;
			, где h – высота поперечного сечения; α – температурный коэффициент линейного расширения;

Коротко уравнения метода перемещения можно представить так:

R₁=0, R₂=0, R₃=0,...

Здесь R₁, R₂, R₃,... - реактивные моменты во введенных задел­ках и реактивные усилия в добавленных стержнях (в основной системе), возникающие от действиянагрузки, поворотов узлов и их линейных смещений. Индексы у реакций соответствуют индексам неизвестных. Число уравнений всегда равно числу введенных за­делок, а следовательно, и числу неизвестных перемещений.

Уравнения метода перемещений — статические, это уравнения равновесия. Уравнения метода сил — кинематические, это уравне­ния перемещений.

Представим в развернутой форме первое уравнение метода пере­мещений (R₁=0) для основной системы, изображенной на рис. 6.18, б. Для этого реактивный момент R₁заменим суммой:

.

Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздей­ствие, которое является причиной появления реакции. Поэтому R_1p — реактивный момент во введенной заделке от действия нагруз­ки (рис. 6.19, a); R₁₁—реактив­ный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол Z₁; R₁₂— реактивный момент в заделке от линейного смещения узлов 1 и 2 рамы на величину Z₂.

Реактивные моменты R₁₁ и R₁₂ от Z₁и Z₂можно заменить выра­жениями

и .

Здесь r₁₁— реактивный момент в заделке от поворота этой же за­делки на угол Z₁, равный единице, т. е. 1 рад (рис. 6.19, б); r₁₂— реактивный момент во введенной заделке от смещения по горизон­тали узла 2 на величину Z₂=l(рис. 6.19, в).

После такой замены первое уравнение получим в виде

Z₁r₁₁+Z₂r₁₂+R_1p=0.

Рис.6.19.

Произведя аналогичное пре­образование второго уравнения (R₂=0), приведем его к виду

.

В этом уравнении r₂₁— реак­тивное усилие во введенном стерж­не, возникающее от поворота заделки на угол Z₁= 1 (рис. 6.19, б); r₂₂— реактивноеусилие в стержне от линейного смещения узлов 1 и 2 на величину Z₂=l(рис. 6.19, в); R_2p —реактивное усилие в стержне от действия заданной нагрузки (рис. 6.19, а).

Смысл первого уравнения состоит в отрицании момента во вве­денной заделке, а второго — в отрицании усилия во введенном стержне. Оба уравнения вместе образуют систему канонических уравнений метода перемещений для случая двух неизвестных пере­мещений. Аналогично составляется система канонических уравне­ний и при другом числе неизвестных.

Так, например, в случае четырех неизвестных система канониче­ских уравнений метода перемещений имеет вид

Коэффициенты r₁₁, r₂₂и т. д., расположенные на глав­ной диагонали, называются главными; коэффициенты (реакции) r₁₂, r₂₁, r₃₁ и т. д. называются побочными; свободные члены R_1p, R_2p и т. д.— грузовыми реакциями. В этих уравнениях коэффициенты при неизвестных, рас­положенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т. е. связаны между собой условием взаимности r_mn=r_nm

Система канонических уравнений метода перемещений отлича­ется от аналогичной системы метода сил тем, что вместо коэффициен­тов и грузовых членов , выражающих перемещения в основ­ной системе, в нее входят коэффициенты r_пт и грузовые члены R_np, выражающие реакции дополнительных закреплений в основной системе, а вместо неизвестных усилий X — неизвестные переме­щения Z.