Основная система

При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей.

Получаемая в результате этого система называется основной сис­темой метода перемещений.

Приведем сравнение основных систем метода перемещений и метода сил.

Рассмотрим, например, прямоугольную раму, изображенную на рис. 6.5, а. Эта рама дважды статически неопределима. Проведя разрез по шарниру и удалив этим две связи, получим основную систему метода сил в виде двух балок (одной прямой и одной лома­ной), заделанных одним концом (рис. 6.5, б). Эта система статиче­ски определима. Введя же в систему две дополнительные связи: одну, препятствующую повороту жесткого узла /, а другую, пре­пятствующую линейным смещениям узлов 1 и 2, получим основную систему метода перемещений (рис. 6.6). Эта система четыре раза статически неопределима.

Таким образом:

1) основная система метода сил получается удалением связей, а основная система метода перемещений — введением связей;

2) переход от заданной системы к основной системе метода сил связан со снижением степени ее статической неопределимости, а пе­реход к основной системе метода перемещений — с повышением степени статической неопределимости.

Рис.6.5. Рис.6.6

Здесь следует отметить, что введенные в основную систему ме­тода перемещений защемляющие связи отличаются от обычного абсолютно жесткого защемления (заделки) тем, что оказывают препятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвиж­ности. Реакции таких связей представляют собой моменты, прило­женные в узлах системы.

Что касается связей, уничтожающих линейные смещения, то введение таких связей можно осуществить различными путями.

Рис.6.7.

Например, можно поставить раскос 0 — 2 (рис. 6.7, а) или раскос 1 — 3 (рис. 6.7, б), или горизонтальный опорный стержень в узле 2 (рис. 6.7, б), или наклонный опорный стержень в узле 1 (рис. 6.7, г).

Связь в вйде раскоса 1—3 (рис. 6.7, б) не препятствует переме­щению узла 3, который и без того неподвижен. Она исключает лишь перемещения узла 1 в направлении прямой, соединяющей этот узел с узлом 3. В этом отношении от нее ничем не отличается связь в виде опорного стержня, показанная на рис. 6.7, г.

При введении в сооружение дополнительных связей, исклю­чающих линейные смещения узлов, предпочтение следует отдавать связям, соединяющим узлы с «землей», а не друг с другом, т. е. опорным стержням, а не дополнительным элементам сооружения. При наличии в раме горизонтальных и вертикальных стержней рекомендуется вводить горизонтальные и вертикальные (aijeна­клонные) опорные стержни; это упрощает расчет сооружения.

Основную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующи­ми повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой; общее же число неизвестных метода перемещений сле­дует в таком случае называть степенью кинематической неопреде­лимости заданной системы.

В статическом отношении основная система метода перемещений отличается от заданной тем, что в ней возможно появление реактив­ных моментов во введенных заделках и реактивных усилий в добав­ленных стержнях.

Для получения основной системы метода перемещений, во-пер­вых, во все «жесткие» узлы заданной системы следует ввести за­делки (защемления), препятствующие повороту узлов, и, во-вто­рых, ввести в заданную систему стержни, препятствующие линей­ным смещениям узлов.

Рис.6.8.

В качестве второго примера выбора основной системы метода перемещений рассмотрим раму, изображенную на рис. 6.8, а. Сте­пень статической неопределимости этой системы равна шести. Число неизвестных при расчете ее методом перемещений также равно шести: четыре угловых и два линейных перемещения. Введя четыре заделки и два стержня, получим основную систему, изображенную на рис. 6.8, б.

Перейдем к детальному изучению элементов, из которых состоит основная система метода перемещений, т. е. к изучению однопролетной статически неопределимой балки.

Рассмотрим сначала построение методом сил эпюр изгибающих моментов в балке постоянной жесткости с одним защемленным, а другим шарнирно опертым концом (рис. 6.9, а) для нескольких характерных случаев внешнего воздействия; при этом условимся считать положительными реакции в виде сил, направленные вверх, и реактивные моменты, действующие по часовой стрелке. В качестве основной системы метода сил возьмем консольную (рис. 6.9, б) балку (с одним защемленным и другим свободным концом). Лишним неизвестным будет реакция подвижной опоры

При любом внешнем воздействии т значение Xiможно найти из уравнения

(6.1)

Умножением эпюры М_х (рис. 6.9, в) на эпюру же Mi найдем ве­личину бц, не зависящую от внешнего воздействия:

.

Рис.6.9. Рис.6.10.

Рассмотрим различные случаи внешнего воздействия на эту балку.

1) Загружение равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 6.10, а). Умножив эпюру M_q (рис. 6.10, б) на эпюру M₁ (см. рис. 6.9, в), определим

.

Решив уравнение (6.1), найдем

X₁ = R_B=3ql/8.

Реакция опоры А

R_A=ql — R_B=5ql/8.

Опорный момент в заделке А балки АВ получим, просуммиро­вав момент в этом сечении от нагрузки с моментом от X₁(рис. 6.10, в):

.

2) Загружение сосредоточенной силой Р (рис. 6.11). Перемеще­ние получим, умножив эпюру М_р на эпюру M₁: .

Так как ul+vl = l и, следовательно, v=1 — и, то

.

Решив уравнение (6.1), найдем реакцию опоры В:

.

Реакция опоры А

.

Опорный момент

.

Рис.6.11. Рис.6.12.

Перемещение заделки на величину А по направлению, пер­пендикулярному оси стержня АВ (рис. 6.12). Эпюры изгибающих моментов в основной системе от смещения не будет, но переме­щение по направлениюX₁будет равно .

Из уравнения (6.1) найдем

.

Опорные реакции и опорный момент:

,

,

.

4) Поворот заделки на угол ср (рис. 6.13). Перемещение по направлению Х₁ от поворота заделки в основной системе

.

Из уравнения (6.1) найдем

.

Опорные реакции и опорный момент будут равны:

,

,

.

5) Действие неравномерного нагрева (рис. 6.14). Обозначим разность температур верхнего и нижнего волокон

.

Рис.6.13. Рис.6.14

Перемещение по направлению в основной системе будет равно:

.

Рис.6.15

здесь h — высота поперечного сечения балки.

Решив уравнение (6.1), найдем

.

Опорные реакции и опорный момент будут равны:

; ; .

Рассмотрим теперь балку с двумя защемленными (заделанными) концами (рис. 6.15, а); для расчета ее возьмем основную систему, полученную в резуль­тате проведения разреза посредине бал­ки (рис. 6.15, б). На рис. 6.15, в—д да­ны единичные эпюры изгибающих мо­ментов.

При действии вертикальной нагруз­ки, при линейных смещениях заделок (по нормали к оси балки) и при поворо­тах заделок продольная сила Х₃ будет равна нулю потому, что в каноническом уравнении

коэффициенты , и грузовой член равны нулю, так как равны нулю моменты М₃ (рис. 6.15,5).

Неизвестные X₁ и Х₂ найдем из уравнений

(6.2)

Коэффициенты этих уравнений равны:

; .

Рассмотрим некоторые случаи воздействия на такую балку.

Рис.6.16. Рис.6.17

Перемещение заделки на величину А по направлению, пер­пендикулярному оси стержня АВ (рис. 6.16). Перемещения в ос­новной системе по направлениям неизвестных равны:

; .

Решив уравнения (6.2), найдем

; .

Опорные реакции и опорные моменты будут равны:

;

; .

Поворот заделки А на угол ф (рис. 6.17). При повороте заделки Л на угол <р в основной системе получим следующие перемещения по направлениям неизвестных:

; .

Решив уравнения (6.2), найдем:

; .

Опорные реакции и опорные моменты будут равны:

; ;

; .

Полученные результаты расчета балок на рассмотренные и на некоторые другие нагрузки приведены в табл. 6.2.

Эта таблица будет использоваться при расчете рам методом пере­мещений. Других воздействий на балку, защемленную двумя кон­цами, здесь не рассматриваем.