Примеры решения задач. Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как xD = t3 + t2

Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как x_D = t ³ + t ², м (рис. 9.1).

По желобу ОА, который представляет собой дугу ок­ружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги | ОМ | = s = 5 πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение . Согласно тео­реме о сложении скоростей, абсо­лютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраиче­ское значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1 с по­лучаем .

Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.

Вычисляя длину дуги | OM |_t=1c= 5 π м, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис.9.2).

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положи­тельно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:

,

и при t =1 с получаем =5 м/с. Направлена она по оси х, так как v_ex > 0.

Складывать векторы и удобнее всего с помо­щью проекций. Проецируя равенство на оси (рис. 9.2), получаем

и окончательно

.

2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсо­лютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.

В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ω_е = 0.

Относительное ускорение в общем случае будет скла­дываться из вращательного и центростремительного: .

Вращательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорос­ти: м/с и .

Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).

Центростремительное относительное ускоре­ние находим через скорость и ра­диус кривизны траектории:

.

Оно направлено к центру окружно­сти желоба (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость

,

и при t = 1 с имеем а_е = 8 м / с ². Это ускорение совпадает по направлению с . Проецируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:

И окончательно:

Задача 9.3.2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 9.4) во­круг оси Ох так, что его угол поворота равен

рад.

Рис. 9.4 Рис. 9.5

По желобу тела ОА движется точка М так, что алгеб­раическое значение длины дуги равно

ОМ = s = (25 πt ² – 5 πt) см.

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние | OA | = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускоре­ние точки М.

Решение.

1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .

Относительную скорость точки (скорость по отноше­нию к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по време­ни: и .

Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20 π см, устанавлива­ем, что длина дуги составляет половину длины окружно­сти, то есть точка М находится в точке А желоба (рис. 9.5).

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точ­ка М, то есть скорость точки А:

,

где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно

.

Таким образом, при t = 1 с получаем и v_e = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направ­лена перпендикулярно отрезку О ₁ А по ходу вращения.

Поскольку векторы и направлены противополож­но, то модуль абсолютной скорости равен v_a = v_r – v_e ≈ 1,01 м/с.

2. Определение . По теореме Кориолиса

или

. (*)

Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис.9.6).

Относительное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см / с ²≈ 1,57 м / с ².

Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраиче­ских значений совпадают (ус­коренное движение): . Относительное центростремительное ускорение направлено к центру желоба и равно его модулю

м / с ².

Рис. 9.6

Переносное ускорение в данном случае — это ускоре­ние точки А тела D.

Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю

,

то переносное вращательное ускорение получается

м / с ².

Оно направлено перпендикулярно О ₁ A по ходу углово­го ускорения, и поскольку алгебраические значения угло­вой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .

Переносное центростремительное ускорение направле­но к оси О ₁ и равно

м / с ².

Кориолисово ускорение , и его модуль равен

.

Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоско­сти чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .

Направление кориолисова ускорения может быть най­дено или по общему правилу для векторного произведе­ния, или по правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.

Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроецировав равенство (*) на оси, получим

и окончательно

.