Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

При решении задач на определение центра тяжести следует помнить, что:

а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;

б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;

в) центр тяжести дуги однородной окружности на оси симметрии, и его положение определяется координатами (рис. 5.1):

Рис. 5.1 Рис. 5.2

,

где r – радиус окружности, α –половина центрального угла;

г) центр тяжести площади однородного кругового сектора (рис. 5.2) расположен на оси симметрии и имеет координаты:

где r – радиус окружности, α –половина центрального угла;

д) центр тяжести С однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести С ₁и С ₂ верхнего и нижнего оснований этой призмы (рис. 5.3), т.е. С ₁ С=СС ₂;

е) центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину О пирамиды с центром тяжести С ₁ ее основания, на расстоянии ¼ этого отрезка ОС ₁ от центра тяжести С ₁ основания пирамиды (рис. 5.4), т.е. СС ₁=1/4 ОС ₁;

Рис. 5.3 Рис. 5.4 Рис. 5.5

ж) центр тяжести однородного круглого конуса лежит на его высоте и отстоит на расстоянии 1/4 высоты от основания конуса (рис. 5.5), т.е. АС =1/4 ОА.

При решении задач на определение положения центра тяжести однородного твердого тела существенную роль играет удачный выбор осей координат.

Если в твердом теле имеется плоскость симметрии, то одну из осей координат, например z, следует направить перпендикулярно к этой плоскости. Так как центр тяжести лежит в плоскости симметрии, т. е. в плоскости ху, то z_с = 0 и остается определить только две координаты: х_с и у_с.

Если в твердом теле имеется ось симметрии, то одну из координатных осей, например х, следует совместить с осью симметрии. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, т. е. на оси х, то у_с = z_c =0 и остается определить только одну координату х_с.

Наиболее распространенным приемом использования формул являет­ся мысленная разбивка однородного твердого тела на такие части, положение центра тяжести каждой из ко­торых известно, либо легко может быть определено.

Рис. 5.6

Так, например, при разбивке площади однородной плоской фигуры, изображенной на рис.5.6, на три части положение ее центра тяжести С (х_c, y_c. z_c) определяется по формулам

,

где x ₁, …, x ₃, y ₁, …, y ₃ — координаты центров тяжести C_i частей плоской фигуры; F ₁, F ₂, F ₃ — площади частей фигуры.

Этот способ удобно применять и при определении положения центра тяжести плоской фигуры (рис. 5.7), из которой вырезана некоторая часть.

Рис. 5.7

Зная площадь всей фигуры и координаты и ее центра тяжести , а также площадь и координаты и центра тяжести выре­занной из нее части, можно вычислить координаты центра тяжести оставшейся части фигуры. При этом площадь оставшейся части должна быть равна разности площадей и , а ее статические моменты — разности их стати­ческих моментов. Тогда

.

Положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами и (рис. 5.8). Таким образом,

где суммирования распространены на все элементы площади.

Рис. 5.8

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некото­рой оси называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно этой оси. Обозначая и статические моменты площади плоской фигуры относительно осей х и у, имеем:

.

Таким образом, статический момент площади плоской фигуры относительно оси равен произведению пло­щади фигуры на алгебраическое значение расстояния от центра тяжести до этой оси.

Если известны статические моменты площади плоской фигуры относительно координатных осей, то координаты ее центра тяжести можно определить по фор­мулам:

.

Очевидно, что статический момент площади плоской фигуры отно­сительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры, равен нулю.

Порядок решения задач:

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и коорди­наты х_i, y_i центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общую площадь фигуры по формуле .

4. Определяем координаты центра тяжести фигуры: