Геометричний зміст подвійного інтеграла

1.1. За допомогою подвійних інтегралів обчислюють об’єм циліндричних тіл, при умові, що підінтегральна функція невід’ємна в області D. При складанні інтегральної суми вважають, що значення функції (висота тіла ) в межах елементарної частини розбиття області інтегрування D є сталою (рис. 12), тому об’єм елементарного тіла можна обчислити за формулою об’єму паралелепіпеда, .

Об’єм всього циліндричного тіла, обмеженого зверху деякою поверхнею, дорівнює границі інтегральної суми:

.

Рис.13

Приклад 1.3. Об’єм циліндричного тіла (рис.13), обмеженого зверху поверхнею , знизу площиною , з боку циліндричною поверхнею , де – рівняння межі області інтегрування D в площині ХОУ, дорівнює подвійному інтегралу . Межа області інтегрування є напрямною циліндричної поверхні, твірна якої паралельна до осі OZ.

1.2.Якщо підінтегральна функція є сталою і дорівнює одиниці,

, то значення подвійного інтеграла чисельно дорівнює площі області інтегрування D:

.