![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розв’язання багатьох практичних задач пов’язано з обчисленням значення деякої величини F, закон зміни якої невідомий, але відома функція f, яка певним чином характеризує цей змінний процес в точках заданої області D. Значення невідомої величини F залежать від заданої функції f та від вибору області D.
Наприклад. Для однорідної пластини її маса пропорційна площі пластини, оскільки чисельне значення об’єму пластини відрізняється від чисельного значення її площі на нескінченно малу величину, тобто ,
,
. Якщо ж обчислити за розглянутими формулами масу неоднорідної пластини, то одержаний результат буде мати велику похибку. Тому необхідно шукати інший спосіб обчислення маси неоднорідної пластини.
Геометрію пластини опишемо аналітично як деяку область D площини ХОУ. Закон зміни густини в межах області D відомий, . Значення маси неоднорідної пластини обчислюють як сукупну величину в точках області D. Для знаходження маси будують математичну модель, в основу якої покладена ідея складання інтегральної суми. Математичні моделі складаються в двовимірному Евклідовому просторі.
При побудові математичної моделі наближене значення шуканої величини F в області D визначають як суму нескінченно малих величин. Це дозволяє зменшити похибку обчислень. Точне значення шуканої величини F відповідає границі послідовності її наближених значень, одержаних при різних способах формування інтегральних сум.
Побудова математичної моделі
Розглянемо в декартовій площині ХОУ квадровну область D, в точках якої визначена функція двох змінних, .
1. Розглянемо область D.
![]() | Розіб’ємо довільним чином область D на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Площа області D дорівнює сумі таких площ . Якщо кількість частин розбиття збільшувати,
, то навіть площа найбільшої з одержаних частин розбиття стає нескінченно малою величиною,
,
2. Будемо вважати, що для кожної частини розбиття в різних її точках значення функції
відрізняються на нескінченно малі величини, які мають порядок малості більший за порядок малості площі частини розбиття
. Тобто, можна вважати, що функція
в точках частини розбиття
є “ практично “ сталою. Тому у кожній частині розбиття
виберемо довільну точку
, в якій обчислимо значенні функції
.
3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття
. Будемо вважати, що це значення пропорційне площі
чистини розбиття. Коефіцієнт пропорційності дорівнює значенню функції
у вибраній точці,
. Таким чином, в межах частини розбиття значення шуканої величини наближено дорівнює добутку сталої на нескінченно малу величину,
, і є нескінченно малою величиною,
, порядок малості якої відповідає порядку малості площі частини розбиття
.
4. Утворимо суму із наближених значень шуканої величини в частинах розбиття :
. (1.2)
Таку суму називають інтегральної сумою функції , яка відповідає заданому розбиттю області D та заданому вибору проміжних точок
у частинах розбиття.
Інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, . Точність обчислень збільшується при збільшенні подрібнення області D.
Рис. 1.5 |
Наприклад. Розглянемо замкнену обмежену область D, яка є квадровною (рис. 1.5). За допомогою прямих паралельних до координатних осей ![]() ![]() |
Легко обчислюються площі прямокутників, довжини сторін яких дорівнюють ,
(рис.1.5);
;
;
;
Площа одного такого прямокутника дорівнює .
Сформуємо інтегральну суму при такому способі розбиття області D.
1. Розглянемо всі прямокутники, які повністю лежать в середині області D (рис.1.6).
![]() | При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Сума площ вписаних прямокутників наближається до площі області D:
при цьому, різниця між точним і наближеним
значеннями площі стає нескінченно малою величиною,
при
та
Зауваження. Аналогічним чином можна розглядати площі всіх прямокутників, які повністю або частково містять точки області D.
![]() | Будемо розглядати прямокутники, які повністю або частково перекривають область D (рис.1.7). При збільшенні подрібнення розбиття сума площ таких прямокутників буде теж наближатись до площі області D. |
2. Будемо вважати, що в межах елементарного нескінченно малого прямокутника значення функції є “ практично “ сталим і дорівнює значенню функції у одній з його вершин, наприклад
.
3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття . Воно дорівнює добутку
.
4. Складемо інтегральну суму функції в області D. Розглянемо суму
наближених значень шуканої величини в частинах розбиття,:
(1.3)
Така сума називається подвійноюінтегральною сумою функції в області D.
Подвійна інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2687 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!