Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона

Основним завданням динаміки є виявлення законів зміни механічного руху тіл під дією прикладених до них сил. З дослідів випливає, що під дією сили раніше вільне тіло змінює швидкість свого руху, отримуючи при-скорення , котре прямо пропорційне діючій силі і співпадає з нею у напрямку: де – позитивний коефіцієнт пропорційності, постій-ний для кожного конкретного тіла, але неоднаковий для різних тіл. Він за-лежить від вибору одиниць виміру сили і прискорення. Під дією сили швид-кість руху тіла змінюється не миттєво, а поступово, тобто тіло має інерт-ність. Як міру інертності тіла в поступальному русі вводять позитивну ска-лярну величину , названу масою тіла. За дії однієї і тієї самої сили при-скорення буде тим меншим, чим більше інертність тіла. Отже, коефіцієнт обернено пропорційний масі тіла: і прискорення буде дорівню-вати:

(4.3)

Можна вибрати таку систему одиниць, у якій ; тоді

(4.4)

За основну одиницю маси в міжнародної системі одиниць прийнятий кілограм (кг), а розмірність одиниці сили визначаємо на підставі рівняння (4.4):

(Ньютон).

У разі малих швидкостей руху маса тіла залишається постійною, незалежно від умов руху.

Добуток маси тіла на швидкість його поступального руху називають кількістю руху або імпульсом тіла . Імпульс тіла – величина векторна і його напрямок співпадає з напрямком швидкості:

(4.5)

За великих швидкостей маса тіла залежить від швидкості руху:

(4.6)

де – маса тіла, що рухається, а – його маса в стані спокою. Рівняння (4.6) називають релятивістським вираженням для маси.

Аналогічно, релятивістським вираженням для імпульсу є:

(4.7)

Фізичну суть другого закону механіки, сформульованого Ньютоном, можна виразити таким чином: "Зміна кількості руху пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається в напрямку тієї прямої, по якій ця сила діє”. Якщо в момент часу імпульс тіла був , а в момент часу імпульс тіла став рівним , то зміна імпульсу за час позв'язана з діючою на тіло силою рівнянням:

(4.8)

Для нескінченно малого проміжку часу маємо:

(4.9)

Зміна імпульсу тіла за час дорівнює елементарному імпульсу сили . На підставі рівняння (4.9) можна знайти зміну імпульсу за деякий проміжок часу:

(4.10)

За рівняннями (4.5) та (4.9) отримуємо:

(4.11)

Швидкість зміни імпульсу дорівнює діючій на тіло силі. Це і є найбільш загальною формою вираження другого закону Ньютона. Вона справедлива як у межах ньютонівської механіки, так й у межах релятивістської фізики. Другий закон Ньютона у цій формі виявився справедливим і для мікросвіту. У релятивістській фізиці рівняння (4.11) набирає вигляду:

(4.12)

Якщо вважати, що в ньютонівській механіці , то

(4.13)

Це і є одна з форм запису другого закону Ньютона. Однак сила є причиною виникнення прискорення . Тому, з огляду на причинно-наслідковий зв'я-зок між явищами, здається більш доцільною така форма запису другого за-кону Ньютона:

(4.14)

Прискорення тіла з постійною масою прямо пропорційне діючій на тіло силі й обернено пропорційне масі тіла.

Якщо на тіло діють кілька сил, то прискорення тіла обчислюють за законом адитивності:

(4.15)

Компоненти сили вздовж координатних осей можна представити у вигляді системи рівнянь:

(4.16)

За відомими компонентами сили можна знайти силу як вектор і її модуль:

(4.17)

Вище викладене справедливо для абсолютно твердого тіла, що вико-нує поступальний рух, та для матеріальної точки.

З другого закону Ньютона у формулі (4.15) при начебто випли-ває перший закон. Здавалося б, що перший закон Ньютона є окремим ви-падком другого закону. Однак він формулюється незалежно від другого, тому що в ньому укладений постулат про існування інерціальних систем відліку, чого не містить другий закон.