Прискорення матеріальної точки

Якщо швидкість точки змінюється за величиною чи за напрямком, або за величиною і за напрямком, то для характеристики такого руху вводять поняття прискорення.

Розглянемо загальний випадок зміни швидкості. Якщо в момент часу швидкість точки була , а в момент часу вона стала (рис. 2.4), то величину:

(2.17)

називають середнім прискоренням точки за час . Прискорення в будь-яку мить часу виражається (подібно миттєвій швидкості) рівнянням:

(2.18)

Проаналізуємо, як впливає на прискорення одночасна зміна швид-кості за величиною та за напрямком. Перенесемо вектор паралельно самому собі із точки А в точку В. Уздовж вектора відкладемо модуль вектора і проведемо вектор . З рис. 2.4 видно, що зміна швидкості буде .

Рис. 2.4

Згідно з рівнянням (2.18) прискорення дорівнює:

(2.19)

За нескінченно малого проміжку часу точки А і В будуть розта-шовані нескінченно близько, кути ОВА і ВСd будуть прямувати до , тобто вектор буде перпендикулярний до вектора , а трикутники ОВА і ВСd – подібні. З подібності трикутників знаходимо, що Тоді складова прискорення, що залежить від , дорівнює

(2.20)

Оскільки вектор спрямований перпендикулярно до вектора , то складову прискорення називають нормальним прискоренням. Вектор паралельний , тобто спрямований по радіусу до центра кривизни траєкторії. Якщо рух прямолінійний, то радіус кривизни і . Складова прискорення

(2.21)

спрямована по дотичній до траєкторії, тому її називають тангенціальним прискоренням . Повне прискорення при криволінійному русі і його модуль дорівнюють:

(2.22)

Розмірність прискорення в системі СІ

Складові прискорення вздовж координатних осей можна виразити через складові швидкості:

(2.23)

Прискорення та його модуль можна виразити через складові:

(2.24)

За рівняням (2.18) і (2.23) можна вирішити зворотню задачу:

(2.25)

Якщо до початку відліку часу точка рухалась з сталою швидкістю , а потім з прискоренням , то:

(2.26)

Оскільки і , то прискорення і його складові по координат-ним осям можна виразити рівнянями:

(2.27)

За рівняннями для швидкості і прискорення можна знайти переміщення точки , шлях і координати точки в будь-який момент часу :

(2.28)

Підставляємо в останнє рівняння і знаходимо:

(2.29)

Якщо до початку відліку часу точка рухалась зі швидкістю і пройшла шлях і відповідне їй переміщення , то в будь-який момент часу переміщення, шлях і координати можна вирахувати за рівнянями:

(2.30)